Question

4．在電場(chǎng)方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一帶電小球從A點(diǎn)豎直向上拋出，其運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示．小球運(yùn)動(dòng)的軌跡上A、B兩點(diǎn)在同一水平線上，M為軌跡的最高點(diǎn)．小球拋出時(shí)的動(dòng)能為8.0J，在M點(diǎn)的動(dòng)能為6.0J，不計(jì)空氣的阻力．求：
（1）小球水平位移x₁與x₂的比值；
（2）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中最小動(dòng)能E_kmin．

Answer 1

分析 （1）小球在豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性可知從A點(diǎn)至M點(diǎn)和從M點(diǎn)至B點(diǎn)的時(shí)間t相等．小球在水平方向上做初速為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式位移公式，運(yùn)用比例法求出x₁與x₂之比；
（2）分別研究A到M和A到B水平方向的分運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式速度位移關(guān)系式求出小球到達(dá)B點(diǎn)的速度，即可得到動(dòng)能E_KB，根據(jù)速度的合成得到動(dòng)能與時(shí)間的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值，得到小球動(dòng)能的最小值．

解答 解：（1）小球在豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性得知，從A點(diǎn)至M點(diǎn)和從M點(diǎn)至B點(diǎn)的時(shí)間t相等．
小球在水平方向上做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，則x₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
x₂=$\frac{1}{2}$a（2t）²-$\frac{1}{2}$at²
 所以$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{3}$
（2）由題知，$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$=8J，
得v_A=$\frac{4}{\sqrt{m}}$
又豎直方向上，有v_A=gt=$\frac{G}{m}t$，
所以$\frac{4}{\sqrt{m}}$=$\frac{G}{m}t$，①
$\frac{1}{2}$m${v}_{M}^{2}$=6J，
得v_M=$\sqrt{\frac{12}{m}}$
在水平方向上，有 v_M=at=$\frac{F}{m}$t，
則得$\sqrt{\frac{12}{m}}$=$\frac{F}{m}$t②
所以②：①得  $\frac{F}{G}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$  
則sinθ=$\sqrt{\frac{3}{7}}$   
則小球從A到B過程最小速度一定與等效G′垂直，即圖P點(diǎn)，故
E_kmin=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{min}^{2}$=$\frac{1}{2}m（vsinθ）^{2}$=$\frac{24}{7}$J           
答：（1）小球水平位移x₁與x₂的比值為1：3．
（2）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中最小動(dòng)能E_kmin為$\frac{24}{7}$J．

點(diǎn)評(píng) 本題運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解法處理，抓住豎直方向上運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性得到時(shí)間關(guān)系是關(guān)鍵．對(duì)于第3題，也可以求出重力加速度與電場(chǎng)力加速度形成合加速度，當(dāng)速度方向與合加速度方向垂直時(shí)速度最小，動(dòng)能最小，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律結(jié)合求解．