Question

10．如圖甲所示，長度為l，垂直于紙面的兩平行板CD、MN間存在勻強(qiáng)磁場，板間距離為板長的兩倍，平行板右側(cè)有一水平方向的勻強(qiáng)電場．t=0時刻，一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子（不計重力），以初速度v₀由MN板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁場且平行于板面的方向射入磁場區(qū)，以垂直于DN邊的方向進(jìn)入電場區(qū)域，之后又回到磁場中，最后從平行板左端靠近板面的位置離開磁場，速度方向與初速度方向相反，上述僅l、m、q、v₀為已知量．

（1）若粒子在T_B時刻進(jìn)入電場，求B₀的最大值；
（2）若粒子在T_B時刻進(jìn)入電場，且B₀取最大值，求電場強(qiáng)度E及粒子在電場中向右運(yùn)動的最大距離；
（3）若B₀=$\frac{m{v}_{0}}{2ql}$，求T_B滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）若粒子在T_B時刻進(jìn)入電場，在磁場中是經(jīng)過兩段對稱的圓弧軌跡后從垂直邊界位置射出磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度越大，軌道半徑越小，經(jīng)過$\frac{{T}_{B}}{2}$速度偏轉(zhuǎn)角最大是90°，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑，根據(jù)牛頓第二定律列式求解B₀的最大值；電場強(qiáng)度E及粒子在電場中向右運(yùn)動的最大距離
（2）若粒子在T_B時刻進(jìn)入電場，且B₀取最大值，粒子從垂直邊界位置射出磁場，最后從平行板左端靠近板面的位置離開磁場；在電場中先向右減速后向左加速，運(yùn)動時間為T_B的整數(shù)倍，根據(jù)動能定理列式求解電場強(qiáng)度E及粒子在電場中向右運(yùn)動的最大距離；
（3）若B₀=$\frac{m{v}_{0}}{2ql}$，則運(yùn)用洛倫茲力等于向心力列式求解軌道半徑和周期；結(jié)合幾何關(guān)系求解出每經(jīng)過$\frac{{T}_{B}}{2}$的側(cè)移量，求解出每經(jīng)過$\frac{{T}_{B}}{2}$的經(jīng)過的圓心角，最后聯(lián)立求解即可．

解答 解：（1）若粒子在T_B時刻進(jìn)入電場，畫出軌跡，如圖：
臨界情況是經(jīng)過$\frac{{T}_{B}}{2}$速度偏轉(zhuǎn)角是90°，此時粒子運(yùn)動半徑具有最小值，為：
${R}_{0}=\frac{l}{2}$
根據(jù)$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{0}}$，解得：${B}_{0}=\frac{2m{v}_{0}}{ql}$
（2）粒子圓周運(yùn)動周期：${T}_{0}=\frac{2π{R}_{0}}{{v}_{0}}=\frac{πl(wèi)}{{v}_{0}}$
可知：${T}_{B}=\frac{{T}_{0}}{2}=\frac{πl(wèi)}{2{v}_{0}}$
粒子在電場中運(yùn)動的時間為：
t=$\frac{n{T}_{B}}{2}$ （n=1、2、3…）
由運(yùn)動學(xué)知識可得：t=$\frac{2{v}_{0}}{a}$
由牛頓第二定律，有：qE=ma，解得：E=$\frac{8m{v}_{0}^{2}}{nπql}$
d=$\frac{{v}_{0}}{2}×\frac{t}{2}=\frac{nπl(wèi)}{16}$
（3）由B₀=$\frac{m{v}_{0}}{2ql}$可知，R=2l
T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}=\frac{4πl(wèi)}{{v}_{0}}$
分析可知：2nRsinθ=l  （n=1、2、3…） 
$\frac{{T}_{B}^{′}}{2}=\frac{θ}{2π}T$
故T_B′=$\frac{4lθ}{{v}_{0}}$，且sinθ=$\frac{1}{4n}$
答：（1）若粒子在T_B時刻進(jìn)入電場，B₀的最大值為$\frac{2m{v}_{0}}{ql}$；
（2）若粒子在T_B時刻進(jìn)入電場，且B₀取最大值，電場強(qiáng)度E為$\frac{8m{v}_{0}^{2}}{nπql}$，粒子在電場中向右運(yùn)動的最大距離$\frac{nπl(wèi)}{16}$；
（3）若B₀=$\frac{m{v}_{0}}{2ql}$，T_B滿足的條件為：T_B′=$\frac{4lθ}{{v}_{0}}$，且sinθ=$\frac{1}{4n}$（n=1、2、3…）．

點評 本題關(guān)鍵是明確粒子的受力情況和運(yùn)動情況，要進(jìn)行動態(tài)分析，畫出軌跡，分析出臨界軌跡，然后結(jié)合牛頓第二定律和時間關(guān)系列式分析．