Question

17．如圖為固定在水平面上的三角形斜劈，斜劈的傾角為α=45°，斜批的頂端距離水平面的離度為4m，在斜劈的上方的豎直面內(nèi)放置一如圖所示的摩擦可忽略不計的管道，其中OA段為長為$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$m，傾角為θ=60°的直管道，在A點(diǎn)平滑銜接一半徑為$\frac{2}{3}$的圓管，軌道的末端與水平垂直，并且圓管的最低點(diǎn)B，軌道的末端C與斜劈的頂端D在同一水平線上，現(xiàn)將一視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=0.1kg小球有管道的最高點(diǎn)O無初速釋放，經(jīng)過一段時間小球與斜劈發(fā)生無能量的損失碰撞，且碰后的速度變?yōu)樗�平，重力加速度g=10m/s²，不計一切阻力和能量的損失，不計管道直徑求：
（1）小球在最低點(diǎn)時對圓管的壓力為多大？
（2）如果沿水平方向移動斜劈的位置，當(dāng)CD兩點(diǎn)間的距離為多少時，小球與斜劈碰后的落地點(diǎn)與碰撞點(diǎn)間的水平距離最大？最大值為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理和向心力公式列式求解．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律，小球在B、C兩點(diǎn)的速度大小相等，由動能定理求出小球與斜面碰撞的速度，大小等于平拋的初速度，根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律表示出水平位移的函數(shù)表達(dá)式，用數(shù)學(xué)知識求最大值．

解答 解：（1）從O→B根據(jù)動能定理得：
$mg（OA+R+Rsin30°）=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-0$
代入數(shù)據(jù)解得：v=$2\sqrt{10}$m/s
根據(jù)向心力公式得：${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：${F}_{N}^{\;}=7N$
根據(jù)牛頓第三定律小球在最低點(diǎn)對圓管的壓力為：${F}_{N}^{′}=7N$
（2）因?yàn)锽、C兩點(diǎn)等高，小球在運(yùn)動過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，所以B、C兩點(diǎn)的速度大小相等，根據(jù)幾何關(guān)系知CD兩點(diǎn)的距離等于C點(diǎn)與斜面碰撞點(diǎn)之間的距離，設(shè)CD為l，斜劈高4m，所以平拋運(yùn)動的豎直位移：y=4-l
根據(jù)動能定理：$mgl=\frac{1}{2}mv{′}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
解得：$v'=\sqrt{{v}_{\;}^{2}+2gl}=\sqrt{40+20l}$
平拋運(yùn)動的水平位移為：x=v′t
豎直方向：$y=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
聯(lián)立得：$x=2\sqrt{-{l}_{\;}^{2}+2l+8}$
當(dāng)l=1m時x有最大值為：${x}_{max}^{\;}=4m$
答：（1）小球在最低點(diǎn)時對圓管的壓力為7N
（2）如果沿水平方向移動斜劈的位置，當(dāng)CD兩點(diǎn)間的距離為1m時，小球與斜劈碰后的落地點(diǎn)與碰撞點(diǎn)間的水平距離最大，最大值為4m

點(diǎn)評 本題綜合考查了動能定理、向心力公式及平拋運(yùn)動的規(guī)律，閱讀量較大，設(shè)計巧妙，是一道體現(xiàn)新課改理念的好題．