Question

20．如圖所示，在xOy平面內(nèi)第Ⅲ象限的某一矩形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面的勻強磁場，其矩形區(qū)域邊界分別平行于x和y軸，且其中一邊與y軸重合，y軸右側(cè)有平行于y軸向下的勻強電場．有一質(zhì)量m=10^-12kg，q=-10^-7C帶負電的粒子從O點以速度v₀=10⁵m/s，沿與y軸負向成θ=30°的方向射入第Ⅲ象限，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，從y軸上的M點垂直于y軸射入第Ⅳ象限，經(jīng)電場從x軸上的N點進入第Ⅰ象限，已知M點縱坐標為y_M=-3m，N點橫坐標x_N=6$\sqrt{3}$m．不計粒子的重力，求：
（1）電場強度E的大��；
（2）磁場的大小和方向；
（3）矩形磁場區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，將運動分解即可求出電場強度；
（2）畫出微粒的運動軌跡與磁場的幾何圖．根據(jù)幾何知識求出粒子在第三象限內(nèi)做圓周運動的半徑，由牛頓第二定律求解勻強磁場B的大�。�
（3）磁場B的最小區(qū)域應(yīng)該分布在微粒的運動軌跡與磁場兩圓的公共部分的面積，根據(jù)幾何知識求出B磁場區(qū)域的最小面積．

解答 解：（1）粒子在電場中做類平拋運動，水平方向：x_N=v₀t
豎直方向：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}•{t}^{2}$
聯(lián)立得：E=5.56×10³N/m
（2）由圓周運動的對稱性可知，粒子進入第三象限后，不能直接進入磁場，是先做一段勻速直線運動，然后再進入磁場，如圖，由圖中幾何關(guān)系得：
$-{y}_{M}=r+\frac{r}{sin30°}=3r$
所以：r=1m
由帶電粒子在磁場中受到的了量子理論通過向心力，得：
$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
所以：B=$\frac{m{v}_{0}}{qr}$
代入數(shù)據(jù)得：B=1T
負電荷在磁場中向右偏轉(zhuǎn)，所以磁場的方向向外．
（3）由圖，當粒子運動的軌跡剛好與磁場的邊界相切時，磁場的面積最小，所以該磁場的寬度：L₁=r=1m，
磁場的長度：L₂=r+r•cos60°=1.5r=1.5m
則磁場的面積：s=${L}_{1}•{L}_{2}=1×1.5=1.5{m}^{2}$
答：（1）電場強度E的大小是5.56×10³N/m；
（2）磁場的大小是1T，方向垂直于紙面向外；
（3）矩形磁場區(qū)域的最小面積是1.5m²．

點評 當帶電粒子在電場與磁場中做直線運動時，由于洛倫茲力由速度決定，所以粒子必做勻速直線運動．當粒子進入磁場時，僅受洛倫茲力做勻速圓周運動，由幾何關(guān)系可確定磁感應(yīng)強度．