Question

3．如圖所示，固定的光滑金屬導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)=1m，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，上端a、b間接有阻值為R=1.5Ω的電阻，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為θ=30°，且處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=1T、方向垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．質(zhì)量為m=0.4kg、電阻為r=0.5Ω的導(dǎo)體棒與固定彈簧相連后放在導(dǎo)軌上．初始時(shí)刻，彈簧恰處于自然長(zhǎng)度，導(dǎo)體棒具有沿軌道向上的初速度v₀=1m/s．整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸．已知彈簧的勁度系數(shù)為k=10N/m，彈簧的中心軸線與導(dǎo)軌平行．
（1）求初始時(shí)刻通過(guò)電阻R的電流I的大小和方向；
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒第一次回到初始位置時(shí)，速度變?yōu)関=0.8m/s，求此時(shí)導(dǎo)體棒的加速度大小a；
（3）導(dǎo)體棒最終靜止時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為E_p=0.2J，求導(dǎo)體棒從開始運(yùn)動(dòng)直到停止的過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式求出初始時(shí)刻的電動(dòng)勢(shì)，結(jié)合閉合電路歐姆定律求出電流的大小，根據(jù)右手定則得出感應(yīng)電流的方向．
（2）根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式、安培力公式和歐姆定律得出速度為v時(shí)的安培力，結(jié)合牛頓第二定律求出導(dǎo)體棒的加速度．
（3）導(dǎo)體棒最終靜止時(shí)處于壓縮狀態(tài)，根據(jù)胡克定律以及平衡求出壓縮量，結(jié)合能量守恒求出整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量，從而得出電阻R上產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）初始時(shí)刻，棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E₁=BLv₀=1×1×1V=1V，
則通過(guò)電阻的電流為：${I}_{1}=\frac{E}{R+r}=\frac{1}{1.5+0.5}A=0.5A$，根據(jù)右手定則知，通過(guò)電阻R的電流方向由b到a．
（2）第一次回到初始位置所受的安培力為：${F}_{A}=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
根據(jù)牛頓第二定律得加速度為：a=$\frac{mgsinθ-{F}_{A}}{m}=gsinθ-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=10×0.5-$\frac{1×1×0.8}{0.4×2}$=4m/s²．
（3）導(dǎo)體棒最終靜止時(shí)有：mgsinθ=kx，
解得壓縮量為：x=$\frac{mgsinθ}{k}$，
設(shè)整個(gè)過(guò)程回路產(chǎn)生的焦耳熱為Q，根據(jù)能量守恒有：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+mgxsinθ={E}_{p}+{Q}_{總}(cāng)$，
則${Q}_{總}(cāng)=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{（mgsinθ）^{2}}{k}-{E}_{p}$，
電阻R上產(chǎn)生的熱量為：Q=$\frac{R}{R+r}{Q}_{總}(cāng)$，
代入數(shù)據(jù)解得：Q=0.3J．
答：（1）初始時(shí)刻通過(guò)電阻R的電流的大小為0.5A，通過(guò)電阻R的電流方向由b到a．
（2）此時(shí)導(dǎo)體棒的加速度大小為4m/s²；
（3）導(dǎo)體棒從開始運(yùn)動(dòng)直到停止的過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為0.3J．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵會(huì)根據(jù)牛頓第二定律求加速度，以及結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)能夠分析出金屬棒的運(yùn)動(dòng)情況，注意動(dòng)能定理求出的熱量，并不是金屬棒的熱量，而是金屬棒與內(nèi)阻共有的．