Question

9．如圖所示，光滑半圓形軌道處于豎直平面內(nèi)，半圓形軌道與光滑的水平地面相切于半圓的端點A，已知軌道半徑為R，一質(zhì)量為m的小球在水平地面上C點受水平向左大小為F=$\frac{3}{4}$mg的恒力由靜止開始運動，當(dāng)運動到A點時撤去恒力F，小球沿豎直半圓形軌道運動到軌道最高點B點，重力加速度為g．
（1）若小球恰能運動到軌道最高點B，求A、C間的距離L；
（2）若小球運動到A點時未撤去恒力F，當(dāng)A、C間的距離L=5R時，求小球沿豎直半圓形軌道運動中的最大動能E_km及此時對軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）對小球在B點應(yīng)用牛頓第二定律求得速度，然后對整個運動過程應(yīng)用動能定理即可求解；
（2）根據(jù)動能定理求得動能表達(dá)式，然后求解最大動能及其位置，再對小球在該點徑向方向應(yīng)用牛頓第二定律求得支持力，然后由牛頓第三定律求得壓力．

解答 解：（1）若小球恰能運動到軌道最高點B，那么對小球在B點應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
又有小球運動過程只有F和重力做功，故由動能定理可得：$FL-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}mgR$，所以，$L=\frac{\frac{1}{2}mgR+2mgR}{\frac{3}{4}mg}=\frac{10}{3}R$；
（2）小球運動過程只有F和重力做功，那么由動能定理可知：在同一水平位置，F(xiàn)做功不變；高度越低，克服重力做的功越少，動能越大；故動能最大處必在圓心下方的$\frac{1}{4}$圓弧上；
設(shè)動能最大處的半徑與豎直方向夾角為θ，那么，由動能定理可得：E_km=F（L+Rsinθ）-mgR（1-cosθ）=$mgR（\frac{15}{4}+\frac{3}{4}sinθ-1+cosθ）$=$mgR[\frac{11}{4}+\frac{5}{4}sin（θ+53°）]$；
當(dāng)θ=37°時，動能最大，E_km=4mgR；那么，小球動能最大時的速度${v}_{m}=\sqrt{\frac{2{E}_{km}}{m}}=\sqrt{8gR}$；
對小球在徑向方向應(yīng)用牛頓第二定律可得：${F}_{N}-mgcos37°-Fsin37°=\frac{m{{v}_{m}}^{2}}{R}=8mg$，
所以，小球受到軌道的支持力${F}_{N}=8mg+mgcos37°+\frac{3}{4}mgsin37°=9.25mg$，方向沿徑向方向，即與豎直方向成37°，斜向右上方；
那么，由牛頓第三定律可得：小球?qū)�軌道的壓力�?.25mg，方向與豎直方向成37°，斜向左下方；
答：（1）若小球恰能運動到軌道最高點B，則A、C間的距離L為$\frac{10}{3}R$；
（2）若小球運動到A點時未撤去恒力F，當(dāng)A、C間的距離L=5R時，那么小球沿豎直半圓形軌道運動中的最大動能E_km為4mgR；此時對軌道的壓力為9.25mg，方向與豎直方向成37°，斜向左下方．

點評 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關(guān)系求解．