Question

3．如圖所示，水平地面上方MN邊界左側(cè)存在區(qū)域足夠大垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和沿豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T，邊界右側(cè)離地面高h(yuǎn)=3m處有光滑絕緣平臺(tái)，右邊有一帶正電的a球，質(zhì)量m_a=0.1kg、電量q=0.1C，以初速度v₀=3.4m/s水平向左運(yùn)動(dòng)，與質(zhì)量為m_b=0.07kg靜止于平臺(tái)左邊緣的不帶電的絕緣球b發(fā)生正碰，碰后a球恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩球均視為質(zhì)點(diǎn)，g取10m/s²．求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向；
（2）碰后a球在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間；
（3）碰后a球落點(diǎn)的范圍．（計(jì)算結(jié)果都可以用根號(hào)表示）

Answer 1

分析 （1）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力等于重力，據(jù)此求出場(chǎng)強(qiáng)．
（2）小球在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出小球做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角，然后求出其運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）求出小球落地點(diǎn)最左側(cè)距離，然后求出落地點(diǎn)的右側(cè)距離，然后確定其落地點(diǎn)范圍

解答 解：（1）因?yàn)閍球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力必等于重力，
即：qE=m_ag，代入數(shù)據(jù)解得：E=10N/C，方向豎直向上；
（2）兩球碰撞過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向左為正方向，
假設(shè)兩球發(fā)生彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律得：m_av₀=m_av_a+m_bv_b，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m_av₀²=$\frac{1}{2}$m_av_a²+$\frac{1}{2}$m_bv_b²，解得：v_a=0.6m/s，
假設(shè)兩球發(fā)生完全非彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律得：m_av₀=（m_a+m_b）v_a′，
解得：v_a′=2m/s，碰后a球的速度為：0.6m/s≤v_a≤2m/s，
碰撞后a球以2m/s在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，
由牛頓第二定律得：qv_aB=m_a$\frac{{v}_{a}^{2}}{r}$，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πr}{{v}_{a}}$，
解得：r=2m，T=2π，sinθ=$\frac{h-r}{r}$=$\frac{1}{2}$，解得：θ=30°，
a球在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的角度為120⁰，所以在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間：t=$\frac{1}{3}$T=$\frac{2π}{3}$；
（3）a球落在N點(diǎn)左邊最大距離時(shí)，有：L_a=rcos30°=$\sqrt{3}$m，
a球從右邊界飛出的最小半徑：r_a′=$\frac{{m}_{a}{v}_{a}}{qB}$=0.6m，
a球落在右邊的最大距離，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：
h-2r′=$\frac{1}{2}$gt²，s=v_a′t，解得：s=$\sqrt{\frac{（h-2r′）r{′}^{2}}{5}}$，
當(dāng)r′=1m時(shí)，s有最大值
因0.6m/s≤v_a≤2m/s，故：s=$\sqrt{\frac{（h-2r′）r{′}^{2}}{5}}$成立，
代入數(shù)據(jù)解得：s=$\frac{\sqrt{5}}{5}$m，
所以，a球可能的落點(diǎn)在距N點(diǎn)左邊$\sqrt{3}$m、右邊$\frac{\sqrt{5}}{5}$m的范圍內(nèi)；
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為10N/C，方向：豎直向上；
（2）碰后a球在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為$\frac{2π}{3}$；
（3）碰后a球落點(diǎn)的范圍：落點(diǎn)在距N點(diǎn)左邊$\sqrt{3}$m、右邊$\frac{\sqrt{5}}{5}$m的范圍內(nèi)．

點(diǎn)評(píng) 本題是小球在重力場(chǎng)、電場(chǎng)與磁場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)類型，考查受力平衡的狀態(tài)方程，機(jī)械能守恒與動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，關(guān)鍵要把握每個(gè)過(guò)程遵守的物理規(guī)律，結(jié)合幾何知識(shí)進(jìn)行處理．