Question

（19分）四川某中學(xué)物理興趣小組同學(xué)開展研究性學(xué)習(xí)，對(duì)常在火車站看到載重列車啟動(dòng)時(shí)，機(jī)車首先要倒退的問題進(jìn)行調(diào)查，最后得出結(jié)論：因?yàn)闄C(jī)車和車廂與鐵軌之間的最大靜摩擦力大于它們之間的動(dòng)摩擦力，若機(jī)車不倒退直接啟動(dòng)，啟動(dòng)以后機(jī)車和車廂與鐵軌之間的摩擦力由靜摩擦力變?yōu)閯?dòng)摩擦力，當(dāng)列車加速到一定的速度后，列車的機(jī)車就必須減少牽引力使列車勻速直線運(yùn)動(dòng)，資源不能得到充分的利用，所以載重列車常常采用先倒退的啟動(dòng)方式啟動(dòng)�，F(xiàn)假設(shè)有一列載重列車，若它不倒退以恒定的牽引力直接啟動(dòng)，機(jī)車的牽引力能帶動(dòng)49節(jié)車廂（不含機(jī)車），那么它利用倒退后用同樣大小的恒定牽引力啟動(dòng)，該機(jī)車啟動(dòng)59節(jié)同樣質(zhì)量的車廂以后，恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，已知機(jī)車與各節(jié)車廂的質(zhì)量均為m，機(jī)車和各節(jié)車廂與鐵軌之間的動(dòng)摩擦力為，假設(shè)機(jī)車倒退后，各節(jié)車廂之間的掛鉤離開相同的距離，機(jī)車加速后，每拉動(dòng)一節(jié)車廂的瞬間可近似地認(rèn)為滿足動(dòng)量守恒定律的條件。求：
（1）每一節(jié)車廂與鐵軌之間的最大靜摩擦力？
（2）列車采用機(jī)車倒退的方式啟動(dòng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度？（最終結(jié)果可以用根式表示）

Answer 1

（1）；（2）。

（19分）
解：（1）設(shè)每節(jié)車廂所受最大靜摩擦力為f_m，機(jī)車的牽引為為F
直接啟動(dòng)時(shí)，有　　　　              ①（1分）
當(dāng)采用倒退方式啟動(dòng)時(shí)，有　　　　　 ②（1分）
由①、②兩式可得：　　　　　         ③（1分）
（2）設(shè)第一節(jié)車廂被拉動(dòng)前，機(jī)車的速度為，被拉動(dòng)后，機(jī)車的速度為V₁′
由動(dòng)能定理有　 　　　　　　   ④（2分）
由動(dòng)量守恒定律有　　　　　　　       ⑤（2分）
由 ④、⑤得　 　　　　　　     ⑥（1分）
設(shè)第二節(jié)車廂被拉動(dòng)前，機(jī)車的速度為V₂，被拉動(dòng)后，機(jī)車的速度為V₂′，　　
由動(dòng)能定理有　 �、撸�2分）
由動(dòng)量守恒定律有　　　　　　　       ⑧（1分）
由 ⑦、⑧得　 　　　　　　     ⑨（1分）
同理可得　 　　　　　          ⑩（1分）
由數(shù)學(xué)歸納法有　 　　 11（2分）
　 　12（2分）
即列車采用倒退的方式啟動(dòng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為
        （2分）