Question

15．無限長通電螺線管內部的磁場可認為是勻強磁場（外圍磁場可視為零）其大小為B=kI（I為螺線管所通電流，不同的螺線管，k值不同）．現有兩個螺線管1和2，間軸放置（軸在O處），如圖所示，其中1的半徑為a，2的半徑為b（大于2a）．在1中通以電流I₁=I₀+2t（電流隨時間t變化），產生的磁場為B₁=2kI₁，在2中通以電流I₂=3t，產生的磁場為B₂=kI₂，且兩個磁場同向．現在P處放一個半徑為r的圓形導線框，圓心亦在O處．則：
（1）線框中產生的感應電動勢多大？（不考慮感應電流對磁場的影響）
（2）感應電動勢就是單位電荷在感應電場力的作用下沿線框移動一周（感應電場）電場力的功，由此可以求出線框P所在的位置感應電場E的大小，那么E為多大？
（3）現撤去線框P，在距O為r處（線框處）放一個靜止的點電荷（電荷量為q，質量為m，不考慮重力），從t=0時刻釋放，該電荷恰好以半徑r做圓周運動，試求r的值．

Answer 1

分析 （1）磁感應強度的變化率$\frac{△B}{△t}$，根據法拉第電磁感應定律求出感應電動勢
（2）同一根電場線上電場強度大小處處相等，移動電荷q電場力一周做的功qE2πr，${E}_{感}^{\;}=\frac{W}{q}$，即可求出場強
（3）根據洛侖茲力提供向心力列式求解，

解答 解：（1）${B}_{1}^{\;}=2k{I}_{1}^{\;}=2k（{I}_{0}^{\;}+2t）$=$4kt+2k{I}_{0}^{\;}$
${B}_{2}^{\;}=k{I}_{2}^{\;}=3kt$
根據法拉第電磁感應定律有：${E}_{感}^{\;}=\frac{△{B}_{1}^{\;}}{△t}π{a}_{\;}^{2}+\frac{△{B}_{2}^{\;}}{△t}π{r}_{\;}^{2}$=$4kπ{a}_{\;}^{2}+3kπ{r}_{\;}^{2}$=$πk（4{a}_{\;}^{2}+3{r}_{\;}^{2}）$
（2）根據題意感應電動勢就是單位電荷在感應電場力的作用下沿線框移動一周（感應電場）電場力的功，即：${E}_{總}^{\;}=\frac{W}{q}=\frac{qE2πr}{q}=E2πr$
聯(lián)立①②得：$E=\frac{{E}_{總}^{\;}}{2πr}=\frac{4kπ{a}_{\;}^{2}+3kπ{r}_{\;}^{2}}{2πr}$=$\frac{4k{a}_{\;}^{2}+3k{r}_{\;}^{2}}{2r}$=$\frac{2k{a}_{\;}^{2}}{r}+\frac{3kr}{2}$=$\frac{k（4{a}_{\;}^{2}+3{r}_{\;}^{2}）}{2r}$
（3）小球沿切線方向的加速度大小恒為：$a=\frac{qE}{m}$
經過時間t，有：v=at
因為做圓周運動，洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律得：$qv{B}_{2}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
$r=\frac{mv}{q{B}_{2}^{\;}}$=$\frac{mat}{q3kt}=\frac{ma}{3kq}=\frac{m}{3kq}\frac{q}{m}（\frac{2k{a}_{\;}^{2}}{r}+\frac{3kr}{2}）$=$\frac{2{a}_{\;}^{2}}{3r}+\frac{r}{2}$
解得：$r=\frac{2\sqrt{3}a}{3}$
答：（1）線框中產生的感應電動勢為$πk（4{a}_{\;}^{2}+3{r}_{\;}^{2}）$
（2）感應電場E的大小為$\frac{k（4{a}_{\;}^{2}+3{r}_{\;}^{2}）}{2r}$
（3）r的值為$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$

點評 本題主要考查電磁感應及其相關知識，意在考查學生靈活應用電磁感應定律，洛倫茲力公式解決實際問題的能力，解第三問時要特別要注意“外圍磁場為零”，一定要認真審題．