Question

2．如圖甲所示，光滑的水平面上釘有兩枚鐵釘A和B，相距為d．長(zhǎng)為l的柔軟細(xì)線拴在A上，另一端系一質(zhì)量為1kg的小球．小球的初始位置在AB連線上A的一側(cè)，把細(xì)線拉緊，給小球以大小為v的垂直細(xì)線方向的水平速度使它做圓周運(yùn)動(dòng)，由于釘子B的存在，使細(xì)線慢慢地纏在A，B上，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程小球的速率始終不變．從小球剛運(yùn)動(dòng)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，在0≤t≤11s時(shí)間內(nèi)細(xì)線拉力F大小的變化圖線如圖乙所示，11s末的細(xì)線拉力F大小會(huì)再次發(fā)生變化．（近似有：π=3）

求：（1）細(xì)線的長(zhǎng)度l=？
（2）如果細(xì)線的抗斷拉力為8N，那么從小球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線拉斷需要經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象得出運(yùn)動(dòng)的周期，結(jié)合周期求出角速度，從而根據(jù)拉力提供向心力求出細(xì)線的長(zhǎng)度．
（2）通過(guò)拉力提供向心力，結(jié)合半徑的變化，列出拉力的通項(xiàng)表達(dá)式，結(jié)合表達(dá)式求出運(yùn)動(dòng)的圈數(shù)，從而根據(jù)每半圈的時(shí)間，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求出整個(gè)過(guò)程運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）由圖可知，開(kāi)始以半徑l做半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為6s，即$\frac{{T}_{1}}{2}=6s$，
可知角速度${ω}_{1}=\frac{2π}{{T}_{1}}=\frac{2×3}{12}rad/s=0.5rad/s$，
根據(jù)${F}_{1}=ml{{ω}_{1}}^{2}$，
解得l=$\frac{{F}_{1}}{m{{ω}_{1}}^{2}}=\frac{5}{1×0.25}m=20m$，
（2）由圖象，結(jié)合牛頓第二定律得，${F}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{l}$=5N，${F}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{l-d}=6N$，
聯(lián)立兩式解得細(xì)線的長(zhǎng)度l=6d，則d=$\frac{10}{3}m$，
細(xì)線的拉力T隨r減小而增大，但線速度大小不變，v=lω₁=20×0.5m/s=10m/s．
在第一個(gè)半圓周內(nèi)，${F}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{l}$，${t}_{1}=\frac{πl(wèi)}{v}$，
在第二個(gè)半圓周內(nèi)，${F}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{l-d}$，${t}_{2}=\frac{π（l-d）}{v}$，
在第三個(gè)半圓周內(nèi)，${F}_{3}=m\frac{{v}^{2}}{l-2d}$，${t}_{3}=\frac{π（l-2d）}{v}$，
在第n個(gè)半圓周內(nèi) F_n=m$\frac{{v}^{2}}{l-（n-1）d}$，${t}_{n}=\frac{π[l-（n-1）d]}{v}$．
設(shè)小從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第n個(gè)半圓周時(shí)，細(xì)線拉力F_n=8N，即$8=m\frac{{v}^{2}}{l-（n-1）d}$，代入數(shù)據(jù)解得n=$3\frac{1}{4}$，取n=4．
則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=t₁+t₂+t₃+t₄=$\frac{4πl(wèi)-7d}{v}=\frac{4×3×20-\frac{70}{3}}{10}s≈21.7s$．
答：（1）細(xì)線的長(zhǎng)度為20m．
（2）如果細(xì)線的抗斷拉力為8N，那么從小球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線拉斷需要經(jīng)歷21.7s時(shí)間．

點(diǎn)評(píng) 本題是物理數(shù)列類型，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)求出拉力和時(shí)間的通項(xiàng)表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．