Question

2．如圖甲所示，光滑的水平面上釘有兩枚鐵釘A和B，相距為d．長為l的柔軟細線拴在A上，另一端系一質(zhì)量為1kg的小球．小球的初始位置在AB連線上A的一側，把細線拉緊，給小球以大小為v的垂直細線方向的水平速度使它做圓周運動，由于釘子B的存在，使細線慢慢地纏在A，B上，整個運動過程小球的速率始終不變．從小球剛運動時開始計時，在0≤t≤11s時間內(nèi)細線拉力F大小的變化圖線如圖乙所示，11s末的細線拉力F大小會再次發(fā)生變化．（近似有：π=3）

求：（1）細線的長度l=？
（2）如果細線的抗斷拉力為8N，那么從小球開始運動到細線拉斷需要經(jīng)歷多長時間？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象得出運動的周期，結合周期求出角速度，從而根據(jù)拉力提供向心力求出細線的長度．
（2）通過拉力提供向心力，結合半徑的變化，列出拉力的通項表達式，結合表達式求出運動的圈數(shù)，從而根據(jù)每半圈的時間，結合數(shù)學知識求出整個過程運動的時間．

解答 解：（1）由圖可知，開始以半徑l做半個圓周運動的時間為6s，即$\frac{{T}_{1}}{2}=6s$，
可知角速度${ω}_{1}=\frac{2π}{{T}_{1}}=\frac{2×3}{12}rad/s=0.5rad/s$，
根據(jù)${F}_{1}=ml{{ω}_{1}}^{2}$，
解得l=$\frac{{F}_{1}}{m{{ω}_{1}}^{2}}=\frac{5}{1×0.25}m=20m$，
（2）由圖象，結合牛頓第二定律得，${F}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{l}$=5N，${F}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{l-d}=6N$，
聯(lián)立兩式解得細線的長度l=6d，則d=$\frac{10}{3}m$，
細線的拉力T隨r減小而增大，但線速度大小不變，v=lω₁=20×0.5m/s=10m/s．
在第一個半圓周內(nèi)，${F}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{l}$，${t}_{1}=\frac{πl(wèi)}{v}$，
在第二個半圓周內(nèi)，${F}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{l-d}$，${t}_{2}=\frac{π（l-d）}{v}$，
在第三個半圓周內(nèi)，${F}_{3}=m\frac{{v}^{2}}{l-2d}$，${t}_{3}=\frac{π（l-2d）}{v}$，
在第n個半圓周內(nèi) F_n=m$\frac{{v}^{2}}{l-（n-1）d}$，${t}_{n}=\frac{π[l-（n-1）d]}{v}$．
設小從開始運動到第n個半圓周時，細線拉力F_n=8N，即$8=m\frac{{v}^{2}}{l-（n-1）d}$，代入數(shù)據(jù)解得n=$3\frac{1}{4}$，取n=4．
則運動的時間t=t₁+t₂+t₃+t₄=$\frac{4πl(wèi)-7d}{v}=\frac{4×3×20-\frac{70}{3}}{10}s≈21.7s$．
答：（1）細線的長度為20m．
（2）如果細線的抗斷拉力為8N，那么從小球開始運動到細線拉斷需要經(jīng)歷21.7s時間．

點評 本題是物理數(shù)列類型，結合圓周運動向心力的來源，通過數(shù)學知識求出拉力和時間的通項表達式是解決本題的關鍵．