Question

1．如圖，光滑斜面的傾角α=30°，在斜面上放置一矩形線(xiàn)框abcd，ab邊的邊長(zhǎng)l₁=1m，bc邊的邊長(zhǎng)l₂=0.6m，線(xiàn)框的質(zhì)量m=1kg，電阻R=0.1Ω，線(xiàn)框通過(guò)細(xì)線(xiàn)與重物相連，重物質(zhì)量M=2kg，斜面上ef線(xiàn)（ef∥gh）的右方有垂直斜面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T，如果線(xiàn)框從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)最初一段時(shí)間是勻速的，ef線(xiàn)和gh的距離s=11.4m，（取g=10.4m/s²），求：
（1）線(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)前重物M的加速度；
（2）線(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)的速度v；
（3）ab邊由靜止開(kāi)始到運(yùn)動(dòng)到gh線(xiàn)處所用的時(shí)間t；
（4）ab邊運(yùn)動(dòng)到gh線(xiàn)處的速度大小和在線(xiàn)框由靜止開(kāi)始到運(yùn)動(dòng)到gh線(xiàn)的整個(gè)過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）線(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)前，對(duì)線(xiàn)框和重物整體，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度．
（2）線(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程做勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律推導(dǎo)出安培力表達(dá)式，再根據(jù)平衡條件列式，即可求出勻速運(yùn)動(dòng)的速度v；
（3）線(xiàn)框abcd進(jìn)入磁場(chǎng)前時(shí)，做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；進(jìn)磁場(chǎng)的過(guò)程中，做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；進(jìn)入磁場(chǎng)后到運(yùn)動(dòng)到gh線(xiàn)，仍做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可確定運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（4）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出ab邊運(yùn)動(dòng)到gh線(xiàn)處的速度．M的重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為m的重力勢(shì)能和線(xiàn)框中的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解焦耳熱．

解答 解：（1）線(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)前，線(xiàn)框僅受到細(xì)線(xiàn)的拉力F_T，斜面的支持力和線(xiàn)框重力，重物M受到重力和拉力F_T．
 對(duì)線(xiàn)框，由牛頓第二定律得 F_T-mg sinα=ma．
聯(lián)立解得線(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)前重物M的加速度 $a=\frac{Mg-mgsinα}{M+m}$=5m/s²
（2）因?yàn)榫�(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)的最初一段時(shí)間做勻速運(yùn)動(dòng)
所以重物受力平衡 Mg=F_T′，
線(xiàn)框abcd受力平衡，則 F_T′=mg sinα+F_A
ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)切割磁感線(xiàn)，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)E=Bl₁v
形成的感應(yīng)電流 $I=\frac{E}{R}=\frac{{B{l_1}v}}{R}$
受到的安培力 F_A=BIl₁
聯(lián)立上述各式得，Mg=mg sinα+$\frac{{{B^2}l_1^2v}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得v=6 m/s
（3）線(xiàn)框abcd進(jìn)入磁場(chǎng)前時(shí)，做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；進(jìn)磁場(chǎng)的過(guò)程中，做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；進(jìn)入磁場(chǎng)后到運(yùn)動(dòng)到gh線(xiàn)，仍做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．
進(jìn)磁場(chǎng)前線(xiàn)框的加速度大小與重物的加速度相同，為a=5 m/s²
該階段運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 ${t_1}=\frac{v}{a}=\frac{6}{5}s=1.2s$
進(jìn)磁場(chǎng)過(guò)程中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間 ${t_2}=\frac{l_2}{v}=\frac{0.6}{6}s=0.1s$
線(xiàn)框完全進(jìn)入磁場(chǎng)后線(xiàn)框受力情況同進(jìn)入磁場(chǎng)前，所以該階段的加速度仍為a=5m/s²
由 $s-{l_2}=v{t_3}+\frac{1}{2}at_3^2$
解得：t₃=1.2 s
因此ab邊由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到gh線(xiàn)所用的時(shí)間為 t=t₁+t₂+t₃=2.5s
（4）線(xiàn)框ab邊運(yùn)動(dòng)到gh處的速度v′=v+at₃=6 m/s+5×1.2 m/s=12 m/s
整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程產(chǎn)生的焦耳熱 Q=F_Al₂=（Mg-mgsinθ）l₂=9 J
答：
（1）線(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)前重物M的加速度是5m/s²；
（2）線(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)的速度v是6m/s；
（3）ab邊由靜止開(kāi)始到運(yùn)動(dòng)到gh線(xiàn)處所用的時(shí)間是2.5s；
（4）ab邊運(yùn)動(dòng)到gh線(xiàn)處的速度大小和在線(xiàn)框由靜止開(kāi)始到運(yùn)動(dòng)到gh線(xiàn)的整個(gè)過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱是9J．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力平衡的綜合，安培力的計(jì)算是關(guān)鍵．本題中運(yùn)用的是整體法求解加速度．