Question

20．如圖所示為倉儲公司常采用的“自動化”貨物裝卸裝置，兩個相互垂直的斜面固定在平臺上，平臺跟貨車車廂等高，貨箱A（含貨物）和配重B通過與斜面平行的輕繩跨過光滑滑輪相連．A裝載貨物后從h=8.0m高處由靜止釋放，運動到底端時，A和B同時被鎖定，卸貨后解除鎖定，A在B的牽引下被拉回原高度處，再次被鎖定．已知θ=53°，B的質(zhì)量M為1.0×10³kg，A、B與斜面間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.5，滑動摩擦力與最大靜摩擦力相等，g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）為使A由靜止釋放后能沿斜面下滑，其質(zhì)量m需要滿足什么條件？
（2）若A的質(zhì)量m=4.0×10³ kg，求它到達底端時的速度v；
（3）為了保證能被安全鎖定，A到達底端的速率不能大于12m/s．請通過計算判斷：當(dāng)A的質(zhì)量m不斷增加時，該裝置能否被安全鎖定．

Answer 1

分析 （1）由題意可明確下滑的條件，則可求得質(zhì)量的范圍；
（2）對系統(tǒng)應(yīng)用動能定理可求得速度大��；
（3）由題意明確貨箱加速度最大的條件，再牛頓第二定律及運動學(xué)規(guī)律可確定能否被鎖定．

解答 解：（1）設(shè)左斜面傾角為θ，左斜面傾角為β，貨箱由靜止釋放后能沿斜面下滑，則
  F_合＞0                                 ①
即mgsinθ-Mgsinβ-μmgcosθ-μMgcosβ＞0       ②
解得 m＞2.0×10³ kg                      ③
（2）對系統(tǒng)應(yīng)用動能定理，有
 W_合=△E_k ④
即mgh-Mg（$\frac{hsinβ}{sinθ}$）-（ μmg cosθ+μMgcosβ）（$\frac{h}{sinθ}$）=$\frac{1}{2}$（M+m） v² ⑤
解得 v=2$\sqrt{10}$m/s                         ⑥
另解：本小題也可用牛頓第二定律求解：
由F_合=ma                               
即mgsinθ-Mgsinβ-μmgcosθ-μMgcosβ=（M+m）a  
由運動學(xué)方程得 v²=2aL                                  
又L=$\frac{h}{sinθ}$，解得v=2$\sqrt{10}$m/s                             
（3）當(dāng)A的質(zhì)量m與B的質(zhì)量M 之間關(guān)系滿足m＞＞M時，貨箱下滑的加速度最大，
到達斜面底端的速度也最大，此時有
 mgsinθ-μmgcosθ=ma_m ⑦
得 a_m=5m/s² ⑧
又v²=2a_mL                       ⑨
貨箱到達斜面底端的最大速度 v=10m/s＜12m/s     ⑩
所以，當(dāng)A的質(zhì)量m不斷增加時，該運輸裝置均能被安全鎖定．⑪
答：
（1）為使A由靜止釋放后能沿斜面下滑，其質(zhì)量m需要滿足m＞2.0×10³ kg．
（2）若A的質(zhì)量m=4.0×10³kg，求它到達底端時的速度v為2$\sqrt{10}$m/s；
（3）當(dāng)A的質(zhì)量m不斷增加時，該裝置能被安全鎖定．

點評 本題考查動能定理、牛頓第二定律的應(yīng)用，要注意正確分析題意，明確物理過程，應(yīng)用動能定理求解．