Question

17．在“勇氣號”火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來．假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達最高點時高度為h，速度方向是水平的，速度大小為v₀，不計火星大氣阻力．已知火星的一個衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T，火星可視為半徑為R的均勻球體．求：
（1）它第二次落到火星表面時速度的大小v；
（2）在火星上發(fā)射一顆衛(wèi)星，最小發(fā)射速度v_min為多少？

Answer 1

分析 （1）結(jié)合萬有引力等于重力和萬有引力提供向心力求出火星表面的重力加速度，根據(jù)動能定理求出衛(wèi)星第二次落到火星表面時的速度大小．
（2）根據(jù)重力提供向心力求出衛(wèi)星的最小發(fā)射速度

解答 解：（1）火星的一個衛(wèi)星根據(jù)萬有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
火星表面的物體重力等于萬有引力，有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$
第二次落到火星表面時速度的大小為：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gh}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{8{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}h}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}}$
（2）在火星上發(fā)射一顆衛(wèi)星，最小發(fā)射速即火星的第一宇宙速度為：
$mg=m\frac{{v}_{min}^{2}}{R}$
解得：${v}_{min}^{\;}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{R{T}_{\;}^{2}}}$=$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$
答：（1）它第二次落到火星表面時速度的大小v為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{8{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}h}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}}$；
（2）在火星上發(fā)射一顆衛(wèi)星，最小發(fā)射速度v_min為$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$

點評 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，以及最小的發(fā)射速度等于貼近星球表面做勻速圓周運動的速度．