Question

11．質(zhì)量為M的箱子內(nèi)有光滑豎直圓軌道，小球B質(zhì)量m在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．M保持睜止不動(dòng)，當(dāng)m在最高點(diǎn)時(shí)受M壓力恰好為零，求m在豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，M對(duì)地最小壓力是多少？

Answer 1

分析 在最高點(diǎn)時(shí)受M壓力恰好為零，根據(jù)牛頓第二定律求得在最高點(diǎn)的速度，小球在向下做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，速度增加，根據(jù)動(dòng)能定理求得到達(dá)某一位置的速度，根據(jù)受力分析確定出向心力，有牛頓第二定律求得M對(duì)m的壓力，然后對(duì)M受力分析，根據(jù)二次函數(shù)求得極值

解答 解：有題意可知，當(dāng)m在最高點(diǎn)時(shí)受M壓力恰好為零，即m在最高點(diǎn)處只受自身重力，重力提供m做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)整體受力分析可知：mg=$\frac{{mv}_{0}^{2}}{R}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{gR}$
小球下落到某一位置時(shí)，此時(shí)小球與圓心的連線與豎直方向的夾角為θ，根據(jù)動(dòng)能定理可得：$mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
在此位置，根據(jù)牛頓第二定律可知：${F}_{N}+mgcosθ=\frac{m{v}^{2}}{R}$
此時(shí)地面對(duì)M的支持力：F′_N=Mg-F_Ncosθ
聯(lián)立解得：$F{′}_{N}=Mg+3mg（co{s}^{2}θ-cosθ）$=Mg+3mg（cosθ-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}mg$，
當(dāng)$cosθ=\frac{1}{2}$，F(xiàn)′_N取最小值為$Mg-\frac{3}{4}mg$
根據(jù)牛頓第三定律可知對(duì)地面的壓力最小值為$Mg-\frac{3}{4}mg$
答：M對(duì)地最小壓力為$Mg-\frac{3}{4}mg$

點(diǎn)評(píng) 本題考查向心力公式的應(yīng)用以及動(dòng)能定理的應(yīng)用，要注意正確分析物理過(guò)程，明確最高點(diǎn)和某點(diǎn)的受力分析，明確向心力的來(lái)源是解題的關(guān)鍵．