Question

15．如圖所示，水平地面上方有絕緣彈性豎直擋板，板高h(yuǎn)=9m，與板等高處有一水平放置的籃筐，筐口的中心離擋板s=3m．板的左側(cè)以及上端與筐口的連線上方存在勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場，磁場方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T；質(zhì)量m=1×10^-3kg、電荷量q=-1×10^-5C，可視為質(zhì)點(diǎn)的帶電小球從擋板最下端，以某一速度水平射入場中做勻速圓周運(yùn)動，若與擋板相碰就以原速率彈回，且碰撞時間不計，碰撞時電荷量不變，小球最后都能從筐口的中心處落入筐中（不考慮與地面碰撞后反彈入筐情況），g=10m/s²，求：
（1）電場強(qiáng)度的大小與方向；
（2）若帶電小球不與擋板相碰直接落入筐中，求小球速度的大小；
（3）若小球與擋板相碰，求小球落入筐中的運(yùn)動時間的可能取值．（計算結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)和保留x值表示）

Answer 1

分析 （1）帶電小球在混合場中做勻速圓周運(yùn)動，則電場力與重力平衡，由平衡關(guān)系可求和電場強(qiáng)度；
（2）畫出小球不與擋板相碰直接落入筐中的軌跡過程圖，利用洛倫茲力提供向心力結(jié)合結(jié)合關(guān)系聯(lián)立即可求出小球速度的大�。�
（3）帶電小球在復(fù)合場中做圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律可確定半徑和周期；分析碰撞情況，找出所有符合要求的結(jié)果，進(jìn)而求出小球從出發(fā)到落入筐中的運(yùn)動時間的可能取值．

解答 解：（1）因?yàn)樾∏蚰茏鰟蛩賵A周運(yùn)動，所以有：Eq=mg
則：E=$\frac{mg}{q}$=10N/C，
因?yàn)樾∏驇ж?fù)點(diǎn)所以電場方向：豎直向下
（2）畫出小球不與擋板相碰直接落入筐中的軌跡過程圖如圖所示，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：v=$\frac{qBR}{m}$
當(dāng)小球直接落入筐中，根據(jù)幾何關(guān)系有：R²=（9-R）²+s²
解得：R=5m
v=5m/s
（3）根據(jù)周期公式T=$\frac{2πR}{v}$
得小球做圓周運(yùn)動的周期：T=2πs≈6.28s
因?yàn)樗俣确较蚺c半徑方向垂直，圓心必在擋板的豎直線上，
所以：R≥s=3m
設(shè)小球與擋板碰撞n次，其最大半徑為$\frac{h}{2n}$
要擊中目標(biāo)必有：$\frac{h}{2n}$≥3，$\frac{9}{2n}$≥3，0＜n≤1.5
n為整數(shù)，故n只能取1
當(dāng)n=1時可得：
（h-3R）²+s²=R²
（9-3R）²+s²=R²
解得：R₁=3m，R₂=3.75m
R₁=3m時由如圖中的②運(yùn)動軌跡可知：
運(yùn)動時間t=$\frac{450}{360}T$=$\frac{450π}{180}$s
R₂=3.75m時運(yùn)動時間最長，其運(yùn)動軌跡如圖中的軌跡①所示，
根據(jù)幾何關(guān)系可得：cosβ=$\frac{3}{3.75}$=$\frac{4}{5}$，則β=37°
則t_max=$\frac{（360+90+37）T}{360}$=$\frac{487π}{180}$s
所以時間的可能值為：$\frac{450π}{180}$s，$\frac{487π}{180}$s
答：（1）電場強(qiáng)度的大小為10N/C，方向豎直向下；
（2）若帶電小球不與擋板相碰直接落入筐中，小球速度的大小為5m/s；
（3）若小球與擋板相碰，小球落入筐中的運(yùn)動時間的可能為$\frac{450π}{180}$s或$\frac{487π}{180}$s．

點(diǎn)評 本題考查帶電小球在復(fù)合場中的運(yùn)動，小球能做勻速圓周運(yùn)動的條件為：重力和電場力平衡，相當(dāng)于只受洛倫茲力作用；基本方法為確定圓心和半徑再與洛倫茲力提供向心力聯(lián)立；但要準(zhǔn)確解題的關(guān)鍵在于能否由題意找出物體的運(yùn)動軌跡，畫出軌跡過程圖，并確定帶電小球轉(zhuǎn)過的圓心角．對幾何能力要求較高，第三問難度較大需要全面考慮，不然很容易丟解．