Question

13．如圖所示，通過(guò)水平絕緣傳送帶輸送完全相同的正方形單匝銅線(xiàn)框，為了檢測(cè)出個(gè)別未閉合的不合格線(xiàn)框，讓線(xiàn)框隨傳送帶通過(guò)一固定勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（磁場(chǎng)方向垂直于傳送帶平面向下），觀(guān)察線(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)后是否相對(duì)傳送帶滑動(dòng)就能夠檢測(cè)出未閉合的不合格線(xiàn)框．已知磁場(chǎng)邊界MN、PQ與傳送帶運(yùn)動(dòng)方向垂直，MN與PQ間的距離為d，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．各線(xiàn)框質(zhì)量均為m，電阻均為R，邊長(zhǎng)均為L(zhǎng)（L＜d）；傳送帶以恒定速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，線(xiàn)框與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g．線(xiàn)框在進(jìn)入磁場(chǎng)前與傳送帶的速度相同，且右側(cè)邊平行于MN進(jìn)入磁場(chǎng)，當(dāng)閉合線(xiàn)框的右側(cè)邊經(jīng)過(guò)邊界PQ時(shí)又恰好與傳送帶的速度相同．設(shè)傳送帶足夠長(zhǎng)，且在傳送帶上始終保持右側(cè)邊平行于磁場(chǎng)邊界．對(duì)于閉合線(xiàn)框，求：
（1）線(xiàn)框的右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)所受安培力的大��；
（2）線(xiàn)框在進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)加速度的最大值以及速度的最小值；
（3）從線(xiàn)框右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)到穿出磁場(chǎng)后又相對(duì)傳送帶靜止的過(guò)程中，傳送帶對(duì)該閉合銅線(xiàn)框做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求得，閉合銅線(xiàn)框右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)歐姆定律求得電流，然后根據(jù)安培力的公式根據(jù)求得安培力；
（2）線(xiàn)框以速度v₀進(jìn)入磁場(chǎng)，在進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，受安培力而減速運(yùn)動(dòng)；進(jìn)入磁場(chǎng)后，在摩擦力作用下加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其右側(cè)邊到達(dá)PQ時(shí)速度又恰好等于v₀．因此，線(xiàn)框在剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，所受安培力最大，加速度最大，設(shè)為a_m；線(xiàn)框全部進(jìn)入磁場(chǎng)的瞬間速度最�。�根據(jù)牛頓第二定律與動(dòng)能定理即可求得結(jié)果；
（3）線(xiàn)框從右側(cè)邊進(jìn)入磁場(chǎng)到運(yùn)動(dòng)至磁場(chǎng)邊界PQ的過(guò)程中線(xiàn)框受摩擦力，閉合線(xiàn)框出磁場(chǎng)與進(jìn)入磁場(chǎng)的受力情況相同，則完全出磁場(chǎng)的瞬間速度為v，摩擦力做的功等于摩擦力與相對(duì)位移的乘積．

解答 解：（1）閉合銅線(xiàn)框右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)：E=BLv₀
產(chǎn)生的電流：I=$\frac{E}{R}$，
右側(cè)邊所受安培力：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$；
（2）線(xiàn)框以速度v₀進(jìn)入磁場(chǎng)，在進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，受安培力而減速運(yùn)動(dòng)；
進(jìn)入磁場(chǎng)后，在摩擦力作用下加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其右側(cè)邊到達(dá)PQ時(shí)速度又恰好等于v₀．
因此，線(xiàn)框在剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，所受安培力最大，加速度最大，設(shè)為a_m；
線(xiàn)框全部進(jìn)入磁場(chǎng)的瞬間速度最小，設(shè)此時(shí)線(xiàn)框的速度為v．
線(xiàn)框剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有F-μmg=ma_m，
解得：a_m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{mR}$-μg，
在線(xiàn)框完全進(jìn)入磁場(chǎng)又加速運(yùn)動(dòng)到達(dá)邊界PQ的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：
μmg（d-L）=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μg（d-L）}$；
（3）線(xiàn)框從右側(cè)邊進(jìn)入磁場(chǎng)到運(yùn)動(dòng)至磁場(chǎng)邊界PQ的過(guò)程中線(xiàn)框受摩擦力：f=μmg
由功的公式：W_f1=fd，解得：W_f1=μmgd，
閉合線(xiàn)框出磁場(chǎng)與進(jìn)入磁場(chǎng)的受力情況相同，則完全出磁場(chǎng)的瞬間速度為v；
在線(xiàn)框完全出磁場(chǎng)后到加速至與傳送帶速度相同的過(guò)程中，設(shè)其位移x
由動(dòng)能定理有：μmgx=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²，
解得：x=d-L，
閉合線(xiàn)框在右側(cè)邊出磁場(chǎng)到與傳送帶共速的過(guò)程中位移：x'=x+L=d，
在此過(guò)程中摩擦力做功：W_f2=μmgd，
因此，閉合銅線(xiàn)框從剛進(jìn)入磁場(chǎng)到穿出磁場(chǎng)后又相對(duì)傳送帶靜止的過(guò)程中，
傳送帶對(duì)閉合銅線(xiàn)框做的功：W=W_f1+W_f2=2μmgd；
答：（1）線(xiàn)框的右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)所受安培力的大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$；
（2）線(xiàn)框在進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)加速度的最大值為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{mR}$-μg，速度的最小值為$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μg（d-L）}$；
（3）從線(xiàn)框右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)到穿出磁場(chǎng)后又相對(duì)傳送帶靜止的過(guò)程中，傳送帶對(duì)該閉合銅線(xiàn)框做的功為2μmgd．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)相結(jié)合的一道綜合題，分析清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的前提與關(guān)鍵，分析清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程、應(yīng)用安培力公式、牛頓第二定律、動(dòng)能定理、功的計(jì)算公式即可正確解題．