Question

1．如圖甲，MN、PQ兩條平行的光滑金屬軌道與水平面成θ=37°角固定，M、P之間接電阻箱R，導(dǎo)軌所在空間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于軌道平面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1T．質(zhì)量為m的金屬桿a b水平放置在軌道上，其接入電路的電阻值為r．現(xiàn)從靜止釋放桿a b，測(cè)得最大速度為v_m．改變電阻箱的阻值R，得到v_m與R的關(guān)系如圖乙所示．已知軌距為L(zhǎng)=2m，重力加速度g取l0m/s²，軌道足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)．求：
（1）R=0時(shí)回路中產(chǎn)生的最大電流的大小及方向；
（2）金屬桿的質(zhì)量m和阻值r；
（3）當(dāng)R=4Ω時(shí)，若ab桿由靜止釋放至達(dá)到最大速度的過程中，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為Q=8J，求該過程中ab桿下滑的距離x及通過電阻R的電量q．

Answer 1

分析 （1）（2）由圖讀出R=0時(shí)桿ab的最大速度，由E=BLv求解感生電動(dòng)勢(shì)E的大小，由右手定則判斷出桿中的電流方向；根據(jù) E=BLv、I=$\frac{E}{R+r}$、F=BIL推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，當(dāng)桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，由平衡條件得到最大速度v_m與R的關(guān)系式，根據(jù)圖象的斜率和縱截距求解金屬桿的質(zhì)量m和阻值r；
（3）由E=BLv和P=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$得到瞬時(shí)電功率增大量△P，根據(jù)動(dòng)能定理求出合外力對(duì)桿做的功W．

解答 解：（1）設(shè)桿運(yùn)動(dòng)的最大速度為v，桿切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=BLv
由閉合電路的歐姆定律得：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLv}{R+r}$
桿達(dá)到最大速度時(shí)滿足 mgsinθ-BIL=0
聯(lián)立解得：v=$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$R+$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$r．
由圖象可知：斜率為：K=$\frac{2}{2}$m/（s•Ω）=1m/（s•Ω），縱截距為v₀=2m/s，
得到：$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$r=v₀，$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$=k，
解得：m=$\frac{2}{3}$kg，r=2Ω
由圖可知，當(dāng)R=0時(shí)，桿最終以v=2m/s勻速運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)為  E=BLv=1×2×2V=4V        
 故 最大電流為：$I=\frac{E}{R+r}=\frac{4}{2}=2$A（由右手定則判斷可知桿中電流方向從b→a）
（2）由以上分析可知：m=$\frac{2}{3}$kg，r=2Ω
（3）當(dāng)R=4Ω時(shí)，最終金屬桿勻速下滑時(shí)的速度：V=6m/s
在桿加速至最大速度的過程中，對(duì)桿：mgsinθx-Q_總=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
而：Q_總=$\frac{Q（R+r）}{R}=12$J
解得x=6m    故：$q=\frac{BLx}{R+r}$
代入數(shù)據(jù)得：q=2C
答：（1）R=0時(shí)回路中產(chǎn)生的最大電流的大小是2A，方向從b→a；
（2）金屬桿的質(zhì)量m是$\frac{2}{3}$kg，阻值是2Ω；
（3）當(dāng)R=4Ω時(shí)，若ab桿由靜止釋放至達(dá)到最大速度的過程中，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為Q=8J，該過程中ab桿下滑的距離是6m，通過電阻R的電量q是2C．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生能力的要求較高，其中安培力的分析和計(jì)算是關(guān)鍵．