Question

3．滑板運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)陸地上的“沖浪運(yùn)動(dòng)”，滑板運(yùn)動(dòng)員可在不同的滑坡上滑行，做出各種動(dòng)作給人以美的享受．如圖甲所示，abcdef為同一豎直平面上依次平滑連接的滑行軌道，其中ab段水平，H=3m，bc段和cd段均為斜直軌道，傾角θ=37°，de段是一半徑R=2.5m的四分之一圓弧軌道，O點(diǎn)為圓心，其正上方的d點(diǎn)為圓弧的最高點(diǎn)，滑板及運(yùn)動(dòng)員總質(zhì)量m=60kg，運(yùn)動(dòng)員滑經(jīng)d點(diǎn)時(shí)軌道對滑板支持力用N_d表示，忽略摩擦阻力和空氣阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．除下述問（2）中運(yùn)動(dòng)員做緩沖動(dòng)作以外，均可把滑板及運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn)．
（1）從bc段緊靠b處無初速滑下，求N_d的大��；
（2）運(yùn)動(dòng)員改為從b點(diǎn)以v₀=4m/s的速度水平滑出，落在bc上時(shí)通過短暫的緩沖動(dòng)作使他只保留沿斜面方向的速度繼續(xù)滑行，求緩沖動(dòng)作后的速度為多大？
（3）運(yùn)動(dòng)員緩沖之后是否會(huì)從d點(diǎn)滑離軌道？請通過計(jì)算得出結(jié)論．

Answer 1

分析 運(yùn)動(dòng)員離開b點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，落在斜面上時(shí)，豎直方向上的位移和水平方向上的位移的比值等于tanθ，根據(jù)這一關(guān)系求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出落在斜面上時(shí)在豎直方向上的分速度．落在bc上時(shí)通過短暫的緩沖動(dòng)作使他只保留沿斜面方向的速度繼續(xù)滑行，對落地點(diǎn)的速度沿垂直斜面方向和沿斜面方向正交分解，求出沿斜面方向的分速度，即為沿斜面滑行的速度，然后根據(jù)動(dòng)能定理求出d點(diǎn)的速度，與d點(diǎn)的臨界速度進(jìn)行比較，判斷是否會(huì)從d點(diǎn)滑離軌道．

解答 解：（1）開始滑行至d點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得：
mg（H-R）=$\frac{1}{2}$mv²①
mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$②
由①②解得：N=360N
（2）當(dāng)以v₀=4m/s從b點(diǎn)水平滑出時(shí)，運(yùn)動(dòng)員做平拋運(yùn)動(dòng)落在Q點(diǎn)，如圖所示．設(shè)bQ=s₁
s₁sin37°=$\frac{1}{2}$gt²④
s₁cos37°=v₀t⑤
由④⑤得t=$\frac{2{v}_{0}tan37°}{g}$=$\frac{2×4×0.75}{10}$=0.6s⑥
v_y=gt=10×0.6=6m/s⑦
在Q點(diǎn)緩沖后
v_Q=v_ysin37°+v₀cos37°=6×0.6+4×0.8=6.8m/s⑧
mg（H-$\frac{1}{2}$gt）-mgR=$\frac{1}{2}$mv_d²-$\frac{1}{2}$mv_Q²⑨
運(yùn)動(dòng)員恰好從d點(diǎn)滑離軌道應(yīng)滿足mg=$\frac{mv{′}^{2}}{R}$⑩
由⑨⑩代入數(shù)據(jù)解得
v_d'²-v_d²=4.76
即v_d'＞v_d
可見滑板運(yùn)動(dòng)員不會(huì)從圓弧最高點(diǎn)d滑離軌道．        
答：（1）運(yùn)動(dòng)員從bc段緊靠b處無初速滑下，N_d的大小為360N；
（2）滑板運(yùn)動(dòng)員不會(huì)從圓弧最高點(diǎn)d滑離軌道．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)落在斜面上，豎直方向上的位移和水平方向上的位移的比值是定值，根據(jù)該關(guān)系可求出時(shí)間．以及在外軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，最高點(diǎn)有最大速度，此時(shí)正壓力為0．