Question

8．如圖所示，AB為半徑R=0.8m的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，下端B恰與平板小車(chē)右端平滑對(duì)接．小車(chē)質(zhì)量 M=3kg，車(chē)長(zhǎng) L=2.06m．現(xiàn)有一質(zhì)量m=1kg的小滑塊，由軌道頂端無(wú)初速釋放，滑到B端后沖上小車(chē)．已知地面光滑，滑塊與小車(chē)上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù) μ=0.3，當(dāng)小車(chē)運(yùn)動(dòng)了1.5s時(shí)，小車(chē)被地面裝置鎖定．試求：（g=10m/s² ）

（1）滑塊到達(dá)B端時(shí)，軌道對(duì)它支持力的大小F_N；
（2）小車(chē)被鎖定時(shí)，小車(chē)右端距軌道B端的距離；
（3）從小車(chē)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到被鎖定的過(guò)程中，滑塊與平板小車(chē)之間產(chǎn)生的熱．

Answer 1

分析 （1）滑塊從光滑圓弧軌道下滑的過(guò)程，只有重力做功，機(jī)械能守恒．經(jīng)過(guò)B端時(shí)由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出滑塊到達(dá)B點(diǎn)的速度，再由牛頓第二定律求解軌道的支持力．
（2）當(dāng)小滑塊滑上小車(chē)后，滑塊向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，小車(chē)向左做勻加速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律分別求出滑塊滑上小車(chē)后滑塊和小車(chē)的加速度，由速度公式求出兩者速度所經(jīng)歷的時(shí)間，再求解車(chē)被鎖定時(shí)，車(chē)右端距軌道B端的距離；
（3）從車(chē)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到被鎖定的過(guò)程中，系統(tǒng)損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，求出滑塊相對(duì)于小車(chē)滑動(dòng)的距離，根據(jù)能量守恒定律求出系統(tǒng)損失的機(jī)械能，即為滑塊與平板小車(chē)之間產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）小滑塊在1/4光滑圓弧軌道過(guò)程中，由機(jī)械能守恒得  
  $mgR=\frac{1}{2}m{v^2}$
在B點(diǎn)，對(duì)小滑塊，由牛頓第二定律得
   ${F_N}-mg=m\frac{v^2}{R}$
聯(lián)立兩式，代入數(shù)值得  F_N=3mg=30（N）
（2）當(dāng)小滑塊滑上小車(chē)后，由牛頓第二定律，得
對(duì)小滑塊有：-μmg=ma₁，得 ${a_1}=3m/{s^2}$
對(duì)小車(chē)有：μmg=Ma₂，得 ${a_2}=1m/{s^2}$
經(jīng)時(shí)間t兩者達(dá)到共同速度v’，則有 v+a₁t=a₂t得 t=1s
由于t=1s＜1.5s，此時(shí)小車(chē)未被鎖定，兩者共同速度 v′=a₂t=1m/s，并一起勻速運(yùn)動(dòng)
因此，小車(chē)被鎖定時(shí)，車(chē)右端距軌道 B 端的距離 $x={x_加}+{x_勻}=\frac{1}{2}{a_2}{t^2}+v'（1.5-t）=1m$
（3）從小車(chē)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到被鎖定的過(guò)程中，對(duì)滑塊和小車(chē)組成的系統(tǒng)，由能量轉(zhuǎn)化和守恒，得：
滑塊和小車(chē)之間產(chǎn)生的熱  $Q=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}（m+M）{v^{'2}}=6J$
（或：從小車(chē)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到被鎖定的過(guò)程中，滑塊相對(duì)小車(chē)的位移${x_{相對(duì)}}={x_{滑塊}}-{x_車(chē)}=\frac{v+v'}{2}t-\frac{1}{2}{a_2}{t^2}=2m$
滑塊和小車(chē)之間產(chǎn)生的熱   Q=μmgx_相對(duì)=6J）
答：
（1）滑塊到達(dá)B端時(shí)，軌道對(duì)它支持力的大小F_N是30N．
（2）小車(chē)被鎖定時(shí)，小車(chē)右端距軌道B端的距離是1m．
（3）從小車(chē)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到被鎖定的過(guò)程中，滑塊與平板小車(chē)之間產(chǎn)生的熱是6J．

點(diǎn)評(píng) 本題運(yùn)用程序法進(jìn)行分析．（2），（3）兩問(wèn)也可以運(yùn)用動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，求解更簡(jiǎn)便．