Question

14．如圖所示的xOy坐標(biāo)系中，y軸右側(cè)空間存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于xOy平面向里．P點的坐標(biāo)為（-6L，0），Q₁、Q₂兩點的坐標(biāo)分別為（0，3L），（0，-3L）．坐標(biāo)為（-L，0）處的C點固定一平行于y軸放置一足夠長的絕緣彈性擋板，帶電粒子與彈性絕緣擋板碰撞前后，沿y方向分速度不變，沿x方向分速度反向，大小不變．帶負(fù)電的粒子質(zhì)量為m，電量為q，不計粒子所受重力．若粒子在P點沿PQ₁方向進(jìn)入磁場，經(jīng)磁場運動后，求：
（1）只與擋板碰撞一次并能回到P點的粒子初速度大�。�
（2）粒子能否經(jīng)過坐標(biāo)原點O之后再回到P點；
（3）只與擋板碰撞三次并能回到P點的粒子初速度大小以及這種情況下?lián)醢宓拈L度至少為多少．

Answer 1

分析 （1）作出粒子運動的軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子在磁場中運動的軌道半徑，根據(jù)半徑公式求出粒子的速度．
（2）粒子進(jìn)入磁場后做周期性運動，分析粒子一個周期的運動情況，根據(jù)幾何關(guān)系以及對稱性．即可求出粒子經(jīng)過坐標(biāo)原點O之后再回到P點所滿足的關(guān)系式；
（3）粒子與擋板碰撞三次并能回到P點，作出軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系，運用半徑公式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）粒子與擋板只碰撞一次，粒子運動的軌跡如圖一所示，粒子運動的軌道半徑為R，碰撞前后出入磁場兩點之間的距離為L
則：根據(jù)幾何關(guān)系可得：4Rcosθ-L=6L，其中：cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
解得：R=$\frac{7\sqrt{5}L}{8}$ ①
根據(jù)半徑公式：R=$\frac{mv}{qB}$ ②
聯(lián)立①②式可得：v=$\frac{7\sqrt{5}qBL}{8m}$
（2）設(shè)粒子在x軸上方與擋板碰撞n次，
每次圓周運動，粒子位置沿y軸向下平移的距離為2Rcosθ，
與擋板相碰后，粒子位置向上平移的距離為L，
一次周期性運動粒子沿y軸共向下平移為2Rcosθ-L，
要使粒子經(jīng)過坐標(biāo)原點O之后再回到P點需滿足：
（n-1）（2Rcosθ-L）+2Rcosθ=3L  （n=2，3，4…） ③
聯(lián)立②③式子可得：v=$\frac{（n+2）qBL}{2nmcosθ}$ （n=2，3，4…）
所以，只要粒子速度滿足v=$\frac{（n+2）qBL}{2nmcosθ}$ （n=2，3，4…）粒子就可以經(jīng)過坐標(biāo)原點O之后再回到P點（圖二為n=2時的過程圖）
（3）若與擋板碰撞三次，如圖二所示，設(shè)擋板的長度L₀
根據(jù)幾何關(guān)系可得：3（2Rcosθ-L）+2Rcosθ=6L
解得：R=$\frac{9\sqrt{5}L}{16}$ ④
根據(jù)半徑公式：R=$\frac{mv}{qB}$可得：v=$\frac{9\sqrt{5}qBL}{16m}$ ⑤
聯(lián)立④⑤式子可得：擋板的長度的最小值L₀=2（2Rcosθ-L）=2.5L
答：（1）只與擋板碰撞一次并能回到P點的粒子初速度大小為$\frac{7\sqrt{5}qBL}{8m}$；
（2）粒子能經(jīng)過坐標(biāo)原點O之后再回到P點；
（3）只與擋板碰撞三次并能回到P點的粒子初速度大小以及這種情況下?lián)醢宓拈L度至少為2.5L．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中的運動，第二問為多次回旋的周期性運動，分析每次周期性運動粒子位置變化情況，注意利用幾何關(guān)系和對稱性去分析；對于第一問和第三問，解題關(guān)鍵是要做出粒子的軌跡圖，運用半徑公式結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解．