Question

11．空間建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，在第一象限和第四象限內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第二象限內(nèi)存在沿+x方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m，帶電荷量為+q的離子（不計(jì)重力）從x軸上距坐標(biāo)原點(diǎn)距離為L(zhǎng)的A點(diǎn)以沿+y方向的初速度v₀射入電場(chǎng)，到達(dá)+y軸距離坐標(biāo)原點(diǎn)為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$L的B點(diǎn)進(jìn)入第一象限，然后再經(jīng)過(guò)x軸后第一次到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)O，求：
（1）離子到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小．
（2）離子離開(kāi)B點(diǎn)通過(guò)x軸的位置坐標(biāo)．
（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度與勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的比值．

Answer 1

分析 （1）離子在第二象限做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，可分解為在沿+y方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在x方向做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，分別列式，再求出離子在B點(diǎn)沿+y、+x方向的分速度，再利用分速度求出B點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）根據(jù)粒子在B點(diǎn)與+y方向的角度，以及離子在磁場(chǎng)在運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，找到圓心和半徑，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，再求在x軸的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)在第二象限的加速度求出電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式，根據(jù)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑求出磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式，最后再求它們的比值．

解答 解：（1）離子在第二象限做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，可分解為在沿+y方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在x方向做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)
則沿+y方向有$\frac{2\sqrt{3}}{3}L={v}_{0}t$
沿著+x方向有：L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得a=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{2L}$
在B點(diǎn)時(shí)離子+y方向的分速度為v_y=v₀
在B點(diǎn)時(shí)離子+x方向的分速度為v_x=at=$\sqrt{3}{v}_{0}$
則離子到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度$v=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}=2{v}_{0}$；
（2）離子在B點(diǎn)速度與+y方向的夾角為θ，則tanθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}=\sqrt{3}$，則θ=60°
由對(duì)稱(chēng)性作出離子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心和半徑，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示
由幾何關(guān)系知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{2}{3}\sqrt{3}L}{sin60°}=\frac{2}{3}L$
設(shè)與x軸交于點(diǎn)C，則OC=$2Rcos60°=\frac{2}{3}L$
則離子離開(kāi)B點(diǎn)通過(guò)x軸的位置坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}L，0$）
（3）在第二象限：a=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{2L}$=$\frac{qE}{m}$，解得電場(chǎng)強(qiáng)度E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qL}$
在磁場(chǎng)中，洛侖茲力提供向心力，由牛頓第二定律有
qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\frac{3m{v}_{0}}{qL}$
則$\frac{E}{B}=\frac{{v}_{0}}{2}$；
答：（1）離子到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為2v₀；
（2）離子離開(kāi)B點(diǎn)通過(guò)x軸的位置坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}L，0$）；
（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度與勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的比值為$\frac{{v}_{0}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解題的關(guān)鍵是在電場(chǎng)中利用粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的規(guī)律，將運(yùn)動(dòng)分解；在磁場(chǎng)中按照找圓心，求半徑，畫(huà)軌跡的思路求解．