Question

2．一半徑為R的未知星球自轉(zhuǎn)角速度為ω₀，在這個(gè)行星表面上用彈簧秤測(cè)某物體的重量，該星赤道上稱得物重是兩極時(shí)測(cè)得讀數(shù)的75%，已知萬(wàn)有引力恒量為G，若該行星能看做球體，求：
（1）該星球的質(zhì)量；
（2）該行星極點(diǎn)正上方有一點(diǎn)P點(diǎn)，在P點(diǎn)用彈簧秤稱得物重是兩極表面時(shí)測(cè)得讀數(shù)的75%，求P點(diǎn)到星球表面的高度？

Answer 1

分析 （1）在兩極，萬(wàn)有引力等于重力，在赤道，萬(wàn)有引力的一個(gè)分力等于重力，另一個(gè)分力提供向心力，結(jié)合物重的大小關(guān)系，聯(lián)立求出星球的質(zhì)量．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，結(jié)合物重的大小關(guān)系，求出P點(diǎn)離星球表面的高度．

解答 解：（1）在兩極，萬(wàn)有引力等于重力，$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
在赤道，萬(wàn)有引力的一個(gè)分力等于重力，另一個(gè)分力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-mg′=mR{ω}^{2}$，
又mg′=75%mg，
聯(lián)立解得星球的質(zhì)量M=$\frac{4{R}^{3}{ω}^{2}}{G}$．
（2）根據(jù)mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，$mg′=G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$得，
又mg′=75%mg，
解得h=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}R$．
答：（1）星球的質(zhì)量為$\frac{4{R}^{3}{ω}^{2}}{G}$．
（2）P點(diǎn)到星球表面的高度為$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}R$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道赤道和兩極萬(wàn)有引力和重力的大小關(guān)系，掌握萬(wàn)有引力等于重力這一重要理論，并能靈活運(yùn)用．