Question

17．如圖甲所示的陀螺可在圓軌道的外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落，好像軌道對(duì)它施加了魔法一樣，被稱為“魔力陀螺”，該玩具深受孩子們的喜愛．其物理原理可等效為如圖乙所示的模型：半徑為R的磁性圓軌道豎直固定，質(zhì)量為m的小鐵球（視為質(zhì)點(diǎn)）在軌道外側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B兩點(diǎn)分別為軌道上的最高和最低點(diǎn)．鐵球受軌道的磁性引力始終指向圓心且大小不變，不計(jì)摩擦和空氣阻力，重力加速度為g．下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 鐵球繞軌道轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能守恒
• B． 鐵球在A點(diǎn)的速度必須大于$\sqrt{gR}$
• C． 鐵球在A、B兩點(diǎn)與軌道的彈力差值一定等于5mg
• D． 要使鐵球不脫軌，軌道對(duì)鐵球的磁性引力至少為5mg

Answer 1

分析 把軌道彈力N與磁性引力F合成，等效成桿的力，可將小鐵球的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于桿拉物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，所以為變速率的圓周運(yùn)動(dòng)；運(yùn)用機(jī)械能守恒的條件判斷小球的機(jī)械能守恒；A點(diǎn)速度可能為$\sqrt{gR}$，即等效桿上的力為零即可，不脫軌的臨界條件是在最容易脫軌的B點(diǎn)恰好與軌道間的彈力為零，運(yùn)用動(dòng)能定理與圓周運(yùn)動(dòng)某點(diǎn)的牛頓第二定律結(jié)合定量計(jì)算出．

解答 解：A、對(duì)小鐵球進(jìn)行受力分析，小球受豎直向下的重力mg，沿半徑向外的軌道彈力N，指向圓心的磁性引力F，軌道彈力N與磁性引力F時(shí)刻與速度方向垂直不做功，只有重力做功所以鐵球的機(jī)械能守恒，故A正確；
B、對(duì)小球在最高點(diǎn)受力分析，根據(jù)沿半徑方向的合力提供向心力，在A點(diǎn)對(duì)物體有：mg+F-N=m$\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，因?yàn)镹是大小變化的力，而且存在與F相等的可能，所以鐵球在A點(diǎn)的速度大于等于0即可，故B錯(cuò)誤；
C、設(shè)小球在最高點(diǎn)的速度為v_A，在最低點(diǎn)的速度為v_B，由動(dòng)能定理得：2mgR=$\frac{1}{2}$m${{v}_{B}}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在最高點(diǎn)設(shè)環(huán)對(duì)桿的支持力方向向上，則：mg+F-N_A=m$\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
在最低點(diǎn)：F-mg-N_B=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
聯(lián)立可得：N_B-N_A=6mg．故C錯(cuò)誤．
D．磁性引力最小值的臨界條件為：小球從最高點(diǎn)A由靜止運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，恰好在B點(diǎn)與軌道間的彈力N=0，恰好重力和磁性引力的合力提供向心力，從A到B對(duì)小鐵球運(yùn)用動(dòng)能定理：2mgR=$\frac{1}{2}$m${{v}_{B}}^{2}$，在B點(diǎn)對(duì)小球運(yùn)用牛頓第二定律：F-mg=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，兩式子聯(lián)立得磁性引力的最小值為F=5mg，故D正確．
故選：AD

點(diǎn)評(píng) 本題是一道綜合的問題，考查點(diǎn)包括豎直平面圓周運(yùn)動(dòng)，向心力，動(dòng)能定理以及機(jī)械能守恒定律．大家要認(rèn)真讀題，根據(jù)題中已知建立物理模型．運(yùn)用等效代替的方法去分析ABC三個(gè)選項(xiàng)可提高解題效率．分析D選項(xiàng)時(shí)，關(guān)鍵是要分析出磁性引力最小值的臨界條件：小球從最高點(diǎn)A由靜止運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，恰好在B點(diǎn)與軌道間的彈力N=0，恰好重力和磁性引力的合力提供向心力．