Question

1．太陽系以外存在著許多恒星與行星組成的雙星系統(tǒng)，它們運(yùn)行的原理可以理解為：質(zhì)量為M的恒星和質(zhì)量為m的行星（M＞m），在它們之間的萬有引力作用下有規(guī)則地運(yùn)動(dòng)著，我們可認(rèn)為行星在以某一定點(diǎn)O為中心、半徑為a的圓周上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（如圖所示，圖中沒有表示出恒星）．設(shè)萬有引力常量為G，恒星和行星的大小可忽略不計(jì)．求：
（1）恒星與點(diǎn)O間的距離；
（2）恒星運(yùn)行的周期．

Answer 1

分析 （1）恒星與行星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，相互之間的萬有引力提供各自的向心力，而且兩顆恒星有相同的角速度和周期．根據(jù)牛頓第二定律分別對(duì)兩星進(jìn)行列式，來求解．
（2）根據(jù)萬有引力等于向心力，由牛頓第二定律列式求解恒星的運(yùn)行周期．

解答 解：（1）恒星和行星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度、向心力的大小均相同，則
對(duì)行星m，F(xiàn)=mω²R_m…①
對(duì)恒星M，F(xiàn)′=Mω²R_M…②
可得R_M=$\frac{m}{M}$a
（2）恒星運(yùn)動(dòng)的軌道和位置大致如圖，對(duì)恒星M有

根據(jù)萬有引力提供向心力，
$\frac{GMm}{（a+{R}_{M}）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（a+{R}_{M}）}{{T}^{2}}$
解得：T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（a+\frac{m}{M}）^{3}}{GM}}$
答：（1）恒星與點(diǎn)O間的距離為$\frac{m}{M}$a；（2）恒星運(yùn)行的周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{（a+\frac{m}{M}）}^{3}}{GM}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是雙星問題，關(guān)鍵抓住兩點(diǎn)：一是雙星由相互間的萬有引力提供向心力；雙星的條件是：角速度或周期相等．