Question

14．如圖所示，坐標(biāo)系xOy中第一象限空間有沿y軸負(fù)方向的，場(chǎng)強(qiáng)為E′=$\frac{4}{3}$E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，并在x$＞\frac{4h}{3}$，y＞h區(qū)域有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第三象限空間也有沿水平方向的，垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B，還有沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，一個(gè)帶電荷為q的油滴從圖中第三象限的P點(diǎn)得到一初速度，恰好能沿PO作直線運(yùn)動(dòng)（PO與x軸負(fù)方向的夾角為θ=37°）并從原點(diǎn)O進(jìn)入第一象限，已知重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，求：
（1）油滴在P點(diǎn)得到的初速度大小
（2）油滴在第一象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
（3）油滴離開(kāi)第一象限的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）油滴在復(fù)合場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)，垂直速度方向的合力一定為零，受力分析即可判斷；油滴受三個(gè)力作用（見(jiàn)右圖），從P到O沿直線必為勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)油滴質(zhì)量為m，由平衡條件即可求解；
（2）粒子進(jìn)入第一象限時(shí)，重力和電場(chǎng)力平衡，故粒子現(xiàn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，再做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求出粒子在各階段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出總時(shí)間；
（3）由牛頓第二定律的求出粒子的軌道半徑，然后根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子離開(kāi)第一象限的位置．

解答 解：（1）油滴在復(fù)合場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)，垂直速度方向的合力一定為零，受力分析如圖所示：如果油滴帶負(fù)電，受力分析如圖1所示，帶正電，受力分析如圖2所示．因?yàn)橐�保證垂直速度方向合力為零，圖2中油滴一定做減速運(yùn)動(dòng)，這時(shí)洛侖茲力在變化，導(dǎo)致垂直速度方向的力發(fā)生變化，油滴不可能做直線運(yùn)動(dòng)，即油滴不僅垂直速度方向合力為零，沿速度方向合力也為零，則只能是1圖，所以油滴一定帶負(fù)電．
油滴受三個(gè)力作用（見(jiàn)1圖），從P到O沿直線必為勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)油滴質(zhì)量為m：
由平衡條件有qvBsin37°=qE，mgtan37°=qE，
解得：v=$\frac{5E}{3B}$…①m=$\frac{4qE}{3g}$…②
（2）進(jìn)入第一象限，由電場(chǎng)力：F′=qE′=$\frac{4}{3}$qE和重力G=mg=$\frac{4qE}{3g}$，
知油滴先作勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入y≥h的區(qū)域后作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，路徑如圖，最后從x軸上的N點(diǎn)離開(kāi)第一象限．
由O→A勻速運(yùn)動(dòng)位移為s₁=$\frac{h}{sin37°}$=$\frac{5}{3}$h知
運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\frac{{s}_{1}}{v}$=$\frac{\frac{5}{3}h}{\frac{5E}{3B}}$=$\frac{hB}{E}$，
由幾何關(guān)系和圓周運(yùn)動(dòng)的周期關(guān)系式T=$\frac{2πm}{qB}$知
由A→C的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₂=$\frac{74°}{360°}$T，解得：t₂=$\frac{74πE}{135gB}$，
由對(duì)稱性知從C→N的時(shí)間t₃=t₁，
在第一象限運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2hB}{E}$+$\frac{74πE}{135gB}$；
（3）由在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有　qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  ③
由①、②、③式解得得到軌道半徑：R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{20{E}^{2}}{9g{B}^{2}}$，
圖中的ON=2（s₁cot37°+rsin37°）=$\frac{8}{3}$（h+$\frac{{E}^{2}}{g{B}^{2}}$），
即離開(kāi)第一象限處（N點(diǎn)）的坐標(biāo)為[（$\frac{8}{3}$（h+$\frac{{E}^{2}}{g{B}^{2}}$），0]；
答：（1）油滴在P點(diǎn)得到的初速度大小為$\frac{5E}{3B}$．
（2）油滴在第一象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{2hB}{E}$+$\frac{74πE}{135gB}$．
（3）油滴離開(kāi)第一象限的坐標(biāo)為[（$\frac{8}{3}$（h+$\frac{{E}^{2}}{g{B}^{2}}$），0]．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是先確定物體的運(yùn)動(dòng)情況，并畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后逐段逐段分析，勻速運(yùn)動(dòng)階段受力平衡，勻速圓周運(yùn)動(dòng)階段洛倫茲力提供向心力．