Question

12．如圖甲所示，水平直線MN上方有豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小E=π×10³ N/C，MN下方有垂直于紙面的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t按如圖乙所示規(guī)律做周期性變化，規(guī)定垂直紙面向外為磁場(chǎng)正方向．t=0時(shí)將一重力不計(jì)、比荷$\frac{q}{m}$=10⁶C/kg的正點(diǎn)電荷從電場(chǎng)中的O點(diǎn)由靜止釋放，在t₁=1×10^-5s時(shí)恰通過(guò)MN上的P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，P點(diǎn)左方d=124cm處有一垂直于MN且足夠大的擋板．已知 sin53°=cos37°=0.8，sin37°=cos53°=0.6．求：

（1）電荷從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小υ₀；
（2）電荷在t₂=8×10^-5 s時(shí)與P點(diǎn)的距離△s；
（3）電荷從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到擋板所需時(shí)間t_總．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出電荷進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小；
（2）結(jié)合粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁場(chǎng)交變周期的關(guān)系，作出電荷的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求t₂=8×10^-5s時(shí)電荷與P點(diǎn)的距離；
（3）作出電荷最后d-s內(nèi)的軌跡圖，由幾何關(guān)系確定其轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，總時(shí)間為四個(gè)運(yùn)動(dòng)階段的時(shí)間之和．

解答 解：（1）電荷在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則Eq=ma               
又 υ₀=at₁                                   
解得：υ₀=$\frac{qE{t}_{1}}{m}$=π×10³×10⁶×1×10^-5 m/s=π×10⁴ m/s               
（2）電荷在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，有：qυB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
得：r=$\frac{mυ}{Bq}$    
當(dāng)B₁=$\frac{π}{20}$ T時(shí)，半徑為：r₁=$\frac{mυ0}{B1q}$=0.2 m=20 cm，求其中的一個(gè)半徑即得
周期T₁=$\frac{2πm}{B1q}$=4×10^-5 s，求其中的一個(gè)周期即得．

當(dāng)B₂=$\frac{π}{30}$ T時(shí)，半徑r₂=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{2}}$=0.3 m=30 cm
周期T₂=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$=6×10^-5 s
故電荷從t=0時(shí)刻開(kāi)始做周期性運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
在t=0到t₂=8×10^-5 s時(shí)間內(nèi)，電荷先沿直線OP運(yùn)動(dòng)t₁，再沿小圓軌跡運(yùn)動(dòng)$\frac{{T}_{1}}{4}$，緊接著沿大圓軌跡運(yùn)動(dòng)T₂，t₂=8×10^-5 s時(shí)電荷與P點(diǎn)的距離△s=$\sqrt{2}$r₁=20$\sqrt{2}$ cm  
（3）電荷從P點(diǎn)開(kāi)始的運(yùn)動(dòng)周期T=1×10^-4 s，且在每一個(gè)T內(nèi)向左沿PM移動(dòng)s₁=2r₁=40 cm，電荷到達(dá)擋板前經(jīng)歷了完整周期數(shù)N=$\frac{d-{r}_{1}-{r}_{2}}{{s}_{1}}$+1=2.85，取N=2，則沿PM運(yùn)動(dòng)距離s=2s₁=80 cm，設(shè)電荷撞擊擋板前速度方向與水平方向成θ角，最后d-s=44 cm內(nèi)的軌跡如圖所示．

據(jù)幾何關(guān)系有r₁+r₂sinθ=0.44                         
解得sinθ=0.8，即θ=53°                           
則電荷從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到擋板所需總時(shí)間
t_總=t₁+2T+$\frac{{T}_{1}}{4}$+$\frac{θ}{360°}{T}_{2}$
解得t_總=2.29×10^-4 s                    
答：（1）電荷從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小υ₀是π×10⁴ m/s．  
（2）電荷在t₂=8×10^-5 s時(shí)與P點(diǎn)的距離△s是20$\sqrt{2}$ cm．
（3）電荷從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到擋板所需時(shí)間t_總是2.29×10^-4 s．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)等共存的復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，其受力情況和運(yùn)動(dòng)圖景都比較復(fù)雜，但其本質(zhì)是力學(xué)問(wèn)題，應(yīng)按力學(xué)的基本思路，運(yùn)用力學(xué)的基本規(guī)律研究和解決此類問(wèn)題．