Question

如圖所示，光滑水平面上有正方形金屬線框abcd，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)、電阻為R、質(zhì)量為m．虛線PP’和QQ’之間有一豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為H，且H＞L．線框在恒力F₀作用下由靜止開(kāi)始向磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)，cd邊運(yùn)動(dòng)S后進(jìn)入磁場(chǎng)，ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)前某時(shí)刻，線框已經(jīng)達(dá)到平衡狀態(tài)．當(dāng)cd邊到達(dá)QQ’時(shí)，撤去恒力F₀，重新施加外力F，使得線框做加速度大小為F₀/m的勻減速運(yùn)動(dòng)，最終離開(kāi)磁場(chǎng)．
（1）cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)cd兩端的電勢(shì)差；
（2）cd邊從進(jìn)入磁場(chǎng)到QQ’這個(gè)過(guò)程中安培力做的總功；
（3）寫(xiě)出線框離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中，F(xiàn)隨時(shí)間t變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）線圈進(jìn)入磁場(chǎng)前在恒力F₀作用下由靜止開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可求出cd進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v，由E=BLv求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，此時(shí)cd邊的電勢(shì)差等于路端電壓，為

3

4

E；
（2）由題，ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)前某時(shí)刻，線框已經(jīng)達(dá)到平衡狀態(tài)，根據(jù)平衡條件和安培力公式可求出勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到線圈剛完全進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理求解安培力做的總功；完全進(jìn)入磁場(chǎng)后沒(méi)有感應(yīng)電流產(chǎn)生，線圈不再受到安培力．
（3）從線圈剛完全進(jìn)入磁場(chǎng)到剛離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理求出線圈開(kāi)始離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度．根據(jù)牛頓第二定律和速度公式結(jié)合求出F的表達(dá)式．

解答：解：（1）線圈進(jìn)入磁場(chǎng)前線圈做勻加速運(yùn)動(dòng)，牛頓第二定律和速度公式加速度為 a=

F0

m

cd剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為 v=at
而線圈通過(guò)的位移s=

1

2

at2
解得，v=

2F0s m

cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=BLv
此時(shí)cd邊的電勢(shì)差U=

3

4

E
聯(lián)立以上各式得 U=

3

4

BL

2F0s m

．
（2）進(jìn)入磁場(chǎng)后達(dá)到平衡時(shí)，設(shè)此時(shí)速度為v₁，則有F₀=BIL=

B2L2v1

R

得v₁=

F0R

B2L2

根據(jù)動(dòng)能定理得 F₀（L+s）+W_安=

1

2

m

v

2 1

W_安=-F₀（L+s）+

m F 2 0 R2

2B4L4

（3）平衡后到開(kāi)始離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，設(shè)線圈開(kāi)始離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度為v₂
F₀（H-L）=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²?
解得，v₂=

F 2 0 R2 B4L4 + 2F0(H-L) m

此時(shí)的安培力

B2L2v2

R

＞ma
所以，離開(kāi)磁場(chǎng)

B2L2v

R

-F=ma
而v=v₂-at，
代入v₂ 得F=

B2L2

R

F 2 0 R2 B4L4 + 2F0(H-L) m

-F₀-

B2L2F0

mR

t
答：
（1）cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)cd兩端的電勢(shì)差為

3

4

BL

2F0s m

．；
（2）cd邊從進(jìn)入磁場(chǎng)到QQ’這個(gè)過(guò)程中安培力做的總功為-F₀（L+s）+

m F 2 0 R2

2B4L4

；
（3）寫(xiě)出線框離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中，F(xiàn)隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為

B2L2

R

F 2 0 R2 B4L4 + 2F0(H-L) m

-F₀-

B2L2F0

mR

t．

點(diǎn)評(píng)：本題物理過(guò)程并不十分復(fù)雜，關(guān)鍵是表達(dá)式比較繁瑣，要有足夠的耐心和細(xì)心列式，才能得到正確結(jié)果．對(duì)于第1題，也可以根據(jù)動(dòng)能定理求解v，列式如下：F₀s=

1

2

mv²．