Question

7．宇宙中相距較近、僅在彼此的萬有引力作用下運(yùn)行的兩顆行星稱為雙星．已知某雙星系統(tǒng)中兩顆星的總質(zhì)量為m的恒星圍繞他們連線上某一固定點(diǎn)分別作勻速圓周運(yùn)動，周期為T，萬有引力常量為G．求這兩顆恒星之間的距離．

Answer 1

分析 這是一個雙星的問題，兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動，它們之間的萬有引力提供各自的向心力，兩顆恒星有相同的角速度和周期，結(jié)合牛頓第二定律和萬有引力定律解決問題．

解答 解：設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m₁、m₂，做圓周運(yùn)動的半徑分別為r₁、r₂．
根據(jù)題意有r₁+r₂=L，m₁+m₂=m
根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，有
$\frac{{{Gm}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r₁，
$\frac{{{Gm}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₂$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r₂，

聯(lián)立以上三式解得 L=$\root{3}{\frac{{GT}^{2}m}{{4π}^{2}}}$
答：這兩顆恒星之間的距離是$\root{3}{\frac{{GT}^{2}m}{{4π}^{2}}}$．

點(diǎn)評 本題是雙星問題，與衛(wèi)星繞地球運(yùn)動模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動，關(guān)鍵抓住條件：相同的角速度和周期．