Question

16．如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定有兩個(gè)很靠近的同心圓形軌道，外圓ABCD的光滑，內(nèi)圓A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑，一質(zhì)量m=2kg的小球從軌道的最低點(diǎn)A，以初速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，球的尺寸略小于兩圓間距，球運(yùn)動(dòng)的半徑R=0.2m，取g=10m/s²．
（1）若要使小球始終緊貼外圓做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度v₀至少為多少？
（2）若v₀=4m/s，經(jīng)過一段時(shí)間小球到達(dá)最高點(diǎn)，內(nèi)軌道對小球的支持力N=10N，則小球在這段時(shí)間內(nèi)克服摩擦力做的功是多少？
（3）若v₀=4m/s，經(jīng)過足夠長的時(shí)間后，小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中減少的機(jī)械能是多少？

Answer 1

分析 （1）緊貼外圓做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的臨界情況是重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求最高點(diǎn)的速度，由于小球不受摩擦力，由機(jī)械能守恒定律求出初速度的最小值．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的速度大小，根據(jù)動(dòng)能定理求出克服摩擦力做功的大小．
（3）經(jīng)足夠長時(shí)間后，小球在下半圓軌道內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)能量守恒求出損失的機(jī)械能．

解答 解：（1）設(shè)小球到達(dá)最高點(diǎn)的最小速度為v_C，則有：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_c²+2mgR
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{10}$m/s=3.16m/s．
（2）設(shè)此時(shí)小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度為v_c′，克服摩擦力做的功為W，則在最高點(diǎn)C，有：
mg-N=m$\frac{{v}_{C}^{′2}}{R}$
由動(dòng)能定理得：-2mgR+W=$\frac{1}{2}$mv_c′²-$\frac{1}{2}$mv₀²；
代入數(shù)據(jù)解得：W=-7J．即克服摩擦力做的功是7J．
（3）經(jīng)足夠長時(shí)間后，小球在下半圓軌道BD內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，小球經(jīng)過B或D點(diǎn)的速度為v_B=0．
則小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中減少的機(jī)械能為：
△E=$\frac{1}{2}$mv₀²-mgR=16-4=12J
答：（1）要使小球始終緊貼外圓做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度v₀至少為3.16m/s．
（2）小球在這段時(shí)間內(nèi)克服摩擦力做的功是7J．
（3）小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中減少的機(jī)械能是12J．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是理清運(yùn)動(dòng)過程，抓住臨界狀態(tài)，運(yùn)用合適的規(guī)律進(jìn)行求解．