Question

17．在豎直平面內(nèi)有一半徑為R的半圓形固定圓管軌道，管內(nèi)徑遠(yuǎn)小于R，其最低點(diǎn)A和水平面相切，一質(zhì)量為m可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從最低點(diǎn)以$\sqrt{6gR}$速度沖上軌道，到達(dá)最高點(diǎn)B時(shí)和軌道之間的作用力的大小為0.5mg．求：
（1）物塊到達(dá)最高點(diǎn)B時(shí)速度的大��；
（2）物塊從最高點(diǎn)B飛出后在水平面上的落點(diǎn)到軌道最低點(diǎn)A的距離．
（3）半圓軌道內(nèi)阻力對(duì)小球做的功．

Answer 1

分析 因?yàn)轭}干只告訴最高點(diǎn)B時(shí)和軌道之間的作用力的大小為0.5mg，但并沒有告訴是內(nèi)軌道還是外軌道的作用力，所以每一問題都要分情況討論．
（1）由牛頓第二定律可求得小球在最高點(diǎn)的速度；
（2）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得小球落地時(shí)的水平位移；
（3）由動(dòng)能定理求得半圓軌道內(nèi)阻力對(duì)小球做的功．

解答 解：（1）當(dāng)在最高點(diǎn)小球受到外軌道對(duì)它向下的彈力時(shí)，設(shè)速度為v₁，由牛頓第二定律可得：
0.5mg+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
解得：v₁=$\sqrt{1.5gR}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{12gR}$；
當(dāng)在最高點(diǎn)小球受到內(nèi)軌道對(duì)它向上的支持力時(shí)，設(shè)速度為v₂，由牛頓第二定律可得：
mg-0.5mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
解得：v₂=$\sqrt{0.5gR}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2gR}$；
（2）小球從B點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)物塊從最高點(diǎn)B飛出后在水平面上的落點(diǎn)到軌道最低點(diǎn)A的距離x，則：
豎直方向上：2R=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向上：x=vt
聯(lián)立解得：x=2v$\sqrt{\frac{R}{g}}$，所以：
當(dāng)v=$\sqrt{1.5gR}$時(shí)，x=$\sqrt{6}$R；
當(dāng)v=$\sqrt{0.5gR}$時(shí)，x=$\sqrt{2}$R；
（3）從最低到最高有動(dòng)能定理可得：-mg•2R+W_f=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
當(dāng)v=$\sqrt{1.5gR}$時(shí)，代入數(shù)據(jù)解得：W_f1=-$\frac{1}{4}$mgR；
當(dāng)v=$\sqrt{0.5gR}$時(shí)，代入數(shù)據(jù)解得：W_f2=-$\frac{3}{4}$mgR．
答：（1）物塊到達(dá)最高點(diǎn)B時(shí)速度的大小為$\frac{1}{2}$$\sqrt{12gR}$或$\frac{1}{2}$$\sqrt{2gR}$；
（2）物塊從最高點(diǎn)B飛出后在水平面上的落點(diǎn)到軌道最低點(diǎn)A的距離為$\sqrt{6}$R或$\sqrt{2}$R；
（3）半圓軌道內(nèi)阻力對(duì)小球做的功為-$\frac{1}{4}$mgR或-$\frac{3}{4}$mgR．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平拋、動(dòng)能定理及向心力公式的應(yīng)用，要注意正確應(yīng)用向心力公式，并能利用牛頓第二定律列式求解．特別注意題目給定的條件“到達(dá)最高點(diǎn)B時(shí)和軌道之間的作用力的大小為0.5mg”，并未告訴是內(nèi)軌道還是外軌道的作用力，所以每一問題都要分情況討論．