Question

11．2007年10月我國發(fā)射了繞月運(yùn)行的探月衛(wèi)星“嫦娥1號(hào)”，該衛(wèi)星的軌道是圓形的，若已知繞月球運(yùn)動(dòng)的周期T及月球的半徑R，月球表面的重力加速度g_月，引力常量為G． 求：
（1）月球質(zhì)量；
（2）探月衛(wèi)星“嫦娥1號(hào)”離月球表面的高度；
（3）探月衛(wèi)星的運(yùn)行速度．

Answer 1

分析 （1）月球表面的重力加速度g_月，由月球的萬有引力提供重力，列出等式求出中心體的質(zhì)量；
（2）衛(wèi)星在月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由月球的萬有引力提供向心力，列出等式求出探月衛(wèi)星“嫦娥1號(hào)”離月球表面的高度；
（3）已知繞月球運(yùn)動(dòng)的周期T，結(jié)合（2）的結(jié)果即可求出衛(wèi)星的速度．

解答 解：（1）由萬有引力的公式：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$
得：$M=\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{G}$
（2）由月球的萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}=m（R+h）•\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
整理得：h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$=$\root{3}{\frac{{g}_{月}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
（3）由$v=\frac{2π（R+h）}{T}$得
$v=\root{3}{\frac{2πGM}{T}}$=$\root{3}{\frac{2π{g}_{月}{R}^{2}}{T}}$
答：（1）月球質(zhì)量是$\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{G}$；
（2）探月衛(wèi)星“嫦娥1號(hào)”離月球表面的高度是$\root{3}{\frac{{g}_{月}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（3）探月衛(wèi)星的運(yùn)行速度是$\root{3}{\frac{2π{g}_{月}{R}^{2}}{T}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題中已知衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑，可求出月球的質(zhì)量，關(guān)鍵要能正確運(yùn)用萬有引力提供向心力．