Question

8．如圖所示，電阻忽略不計(jì)的、兩根兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌豎直放置，其上端接一阻值為3Ω的定值電阻R．在水平虛線L₁、L₂間有一與導(dǎo)軌所在平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，磁場(chǎng)區(qū)域的高度為d=0.5m．導(dǎo)體棒a的質(zhì)量m_a=0.2kg、電阻R_a=3Ω；導(dǎo)體棒b的質(zhì)量m_b=0.1kg、電阻R_b=6Ω，它們分別從圖中M、N處同時(shí)由靜止開始在導(dǎo)軌上無摩擦向下滑動(dòng)，都能勻速穿過磁場(chǎng)區(qū)域，且當(dāng)b剛穿出磁場(chǎng)時(shí)a正好進(jìn)入磁場(chǎng)．設(shè)重力加速度為g=10m/s²，不計(jì)a、b棒之間的相互作用．導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直且與導(dǎo)軌接觸良好．求：
（1）在整個(gè)過程中，a、b兩棒分別克服安培力所做的功；
（2）M點(diǎn)和N點(diǎn)距L₁的高度．

Answer 1

分析 （1）棒勻速通過磁場(chǎng)，克服安培力所做的功等于重力做功．
（2）由法拉弟電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、力平衡等推導(dǎo)兩棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，求出時(shí)間和高度．

解答 解：（1）兩金屬棒都是勻速穿過磁場(chǎng)的，安培力與重力等大，
克服安培力做功分別為：W_a=m_agd=0.2×10×0.5J=1J，
W_b=m_bgd=0.1×10×0.5J=0.5J；
（2）設(shè)b在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為v_b，總電阻：R₁=7.5Ω，
b中的電流：${I_b}=\frac{{BL{v_b}}}{R_1}$，
由平衡條件得：m_bg=BI_bL，
即：$\frac{{{B^2}{L^2}{v_b}}}{R_1}={m_b}g$，
同理，設(shè)a在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為v_a，
總電阻R₂=5Ω，由平衡條件得：m_ag=BI_aL，
即：$\frac{{{B^2}{L^2}{v_a}}}{R_2}={m_a}g$，
由以上各式得：$\frac{v_b}{v_a}=\frac{3}{4}$，
設(shè)b棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，
位移：d=v_btv_a=v_b+gt，
由以上各式得：${v_a}^2=\frac{80}{3}{m^2}/{s^2}$，${v_b}^2=15{m^2}/{s^2}$，
a、b棒開始時(shí)距離磁場(chǎng)邊界L₁的高度分別為h_a、h_b，
由v²=2gh得：v_a²=2gh_a，v_b²=2gh_b，解得：h_a=$\frac{4}{3}m$，h_b=$\frac{3}{4}$m；
答：（1）在整個(gè)過程中，a、b兩棒分別克服安培力所做的功為：1J、0.5J；（2）M點(diǎn)和N點(diǎn)距L₁的高度分別是：$\frac{4}{3}$m、$\frac{3}{4}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題電磁感應(yīng)中的力學(xué)問題，電磁與力聯(lián)系橋梁是安培力，這種類問題往往要分析和計(jì)算安培力的大小．本題的關(guān)鍵是尋找兩棒之間的關(guān)系式υ_a=υ_b+gt．