Question

6．宇航員到達某星球后，試圖通過相關測量測量估測該星球的半徑．他在該星球上取得一礦石，測得其質量為m₀，體積為v₀，重力為W，若所取礦石密度等于該星球平均密度，萬有引力常量為G，該星球視為球形，請用以上物理量推導該星球半徑的表達式．（球體體積公式為v=$\frac{4}{3}$πR³，式中R為球體半徑）

Answer 1

分析 根據(jù)密度公式求得礦石的密度，再根據(jù)礦石的質量和重力求得星球表面的重力加速度，由重力和萬有引力相等求得星球的半徑．

解答 解：由題意礦石的密度為：
${ρ}_{0}=\frac{{m}_{0}}{{v}_{0}}$
該星球表面的重力加速度為：
$g=\frac{W}{{m}_{0}}$
在星球表面萬有引力等于重力：
$G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}=mg$
該星球的平均密度為：
$ρ=\frac{M}{V}$
據(jù)題意：ρ=ρ₀，$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$
聯(lián)立以上各式解得：
R=$\frac{3W{v}_{0}}{4πG{m}_{0}^{2}}$
答：該星球半徑的表達式為：$\frac{3W{v}_{0}}{4πG{m}_{0}^{2}}$．

點評 解決天體運動問題有兩種途徑，一種是根據(jù)地球表面重力等于萬有引力，另一種途徑是根據(jù)衛(wèi)星的萬有引力提供向心力列方程求解．