Question

5．如圖所示，MN，PQ為兩光滑的無限長導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距為L（導(dǎo)軌電阻不計），處在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，磁場方向與導(dǎo)軌平面垂直，a，b為可在導(dǎo)軌上自由滑動，長度與兩導(dǎo)軌間距相等，質(zhì)量均為m的金屬棒，兩棒電阻均為R，兩棒原處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)讓b棒以初速度v₀向右運動，求：
（1）a，b兩棒運動的最終速度
（2）整個過程中產(chǎn)生的焦耳熱為多少？
（3）當(dāng)b棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?\frac{3}{4}$時，a棒的加速度是多少？

Answer 1

分析 （1）讓b棒以初速度v₀向右運動，切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電流，兩桿受安培力作用，b桿將做加速度減小的減速運動，a桿做加速度減小的加速運動，當(dāng)兩桿速度相等時，回路磁通量不再變化，回路中電流為零，兩桿不再受安培力作用，將以相同的速度向右勻速運動，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，由于兩棒組成的系統(tǒng)合外力為零，遵守動量守恒，據(jù)此定律求解．
（2）據(jù)能量守恒定律求焦耳熱．
（3）當(dāng)b棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?\frac{3}{4}$時，由動量守恒求出a棒的速度，得到速度之差，求出感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流，再由牛頓第二定律求解加速度．

解答 解：（1）設(shè)a、b兩棒運動的最終速度為v．對于a、b兩棒組成的系統(tǒng)，由于合外力為零，遵守動量守恒，取向右為正方向，則由動量守恒定律有：
mv₀=2mv，
解得：v=0.5v₀．
（2）據(jù)能量守恒定律得整個過程中產(chǎn)生的焦耳熱為：
Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-2×$\frac{1}{2}$m$（0.5{v}_{0}）^{2}$=$\frac{1}{4}m{v}_{0}^{2}$
（3）當(dāng)b棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?\frac{3}{4}$時，設(shè)a棒的速度為v_a．由動量守恒得：
mv₀=mv_a+m•$\frac{3}{4}$v₀；
得：v_a=$\frac{1}{4}{v}_{0}$
回路中產(chǎn)生的總的感應(yīng)電動勢為：
E=BL（v_b-v_a）=BL（$\frac{3}{4}$v₀-$\frac{1}{4}{v}_{0}$）=$\frac{1}{2}BL{v}_{0}$
感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{2R}$=$\frac{BL{v}_{0}}{4R}$
a棒的加速度是：a=$\frac{BIL}{m}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4mR}$
答：（1）a，b兩棒運動的最終速度為0.5v₀．
（2）整個過程中產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{1}{4}m{v}_{0}^{2}$．
（3）當(dāng)b棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?\frac{3}{4}$時，a棒的加速度是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4mR}$．

點評 對于雙桿問題，關(guān)鍵抓住系統(tǒng)的合外力為零，系統(tǒng)的動量守恒，類似于非彈性碰撞過程．