Question

14．如圖所示，在無(wú)窮大的光滑水平面上有兩個(gè)物塊A、B，質(zhì)量分別為M、m（M＞m），物塊A右端拴接輕彈簧l．現(xiàn)用物塊B將固定在墻壁上的輕彈簧2緩慢壓縮，當(dāng)彈簧2的彈性勢(shì)能為E₀時(shí)，釋放物塊B．物塊B被彈簧2彈開(kāi)后，碰到彈簧l（不粘連），由于M比m大，物塊B要被彈回．則從釋放物塊B開(kāi)始，在以后整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：
（1）何時(shí)B的速度最大？并求出最大速度．
（2）何時(shí)彈簧l貯存的彈性勢(shì)能最大？并求出最大值．
（3）若M遠(yuǎn)大于m，物塊A能獲得的最大動(dòng)量多大？

Answer 1

分析 （1）物體A、B第一次碰撞時(shí)，當(dāng)速度相同時(shí)，彈簧壓縮的最短，彈性勢(shì)能最大，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律列式后聯(lián)立求解即可；
（2）系統(tǒng)動(dòng)量守恒，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可以求出最大彈性勢(shì)能；
（3）由機(jī)械能守恒定律求出A的速度，然后求出其動(dòng)量．

解答 解：（1）系統(tǒng)機(jī)械能守恒，當(dāng)彈簧2第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，彈簧2、彈簧1及M的機(jī)械能為零，m的動(dòng)能最大，速度最大．由機(jī)械能守恒有：E₀=$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得B的最大速度：v₀=$\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{m}}$；
（2）彈簧1第一次壓縮到最短時(shí)，彈簧1的彈性勢(shì)能最大．因?yàn)锽與彈簧2碰撞的次數(shù)越多，系統(tǒng)向左的動(dòng)量就越大，當(dāng)彈簧1壓縮到最短時(shí)的共同速度也就越大，這樣系統(tǒng)的動(dòng)能也越大，而總機(jī)械能守恒，彈簧1的勢(shì)能反而減�。�系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v，
由能量守恒定律得：E_P1=E₀-$\frac{1}{2}$（m+M）v²，
解得：E_P1=$\frac{{M{E_0}}}{M+m}$；
（3）當(dāng)M＞＞m時(shí)，每次相互作用后，M的速率要增加一個(gè)微小量，m的速率要減小一個(gè)微小量，而只要m的速率大于M的速率，就還要發(fā)生相互作用，最終M和m將以共同速度向左運(yùn)動(dòng)，彈簧保持原長(zhǎng)．
對(duì)系統(tǒng)由機(jī)械能守恒有：
E₀=$\frac{1}{2}$（M+m）v_共²，
動(dòng)量：P=Mv_共=$M\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{M+m}}$；
答：（1）當(dāng)彈簧2第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)B的速度最大，最大速度為$\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{m}}$．
（2）彈簧1第一次壓縮到最短時(shí)，彈簧1的彈性勢(shì)能最大，最大值為$\frac{{M{E_0}}}{M+m}$．
（3）若M遠(yuǎn)大于m，物塊A能獲得的最大動(dòng)量為$M\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{M+m}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)量與能量綜合的問(wèn)題，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的關(guān)鍵，要明確碰撞過(guò)程中系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，同時(shí)結(jié)合機(jī)械能守恒定律列式分析；應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律、機(jī)械能守恒定律可以解題．