Question

4．隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，廣寒宮中的嫦娥不再寂寞．未來航天飛機(jī)將作為往返于地球與月球之間的飛行器．若宇航員乘航天飛機(jī)對在距月球表面高h(yuǎn)處的圓軌道上運(yùn)行的月球衛(wèi)星進(jìn)行維修．已知月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g_m，計(jì)算過程中可不計(jì)地球?qū)υ虑蛐l(wèi)星引力．
（1）維修衛(wèi)星時(shí)，航天飛機(jī)的速度應(yīng)為多大？
（2）已知地球自轉(zhuǎn)周期為T₀，則該衛(wèi)星每天可繞月球轉(zhuǎn)幾圈？

Answer 1

分析 （1）月球表面重力與萬有引力相等，航天飛機(jī)處萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力，據(jù)此求解；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力求得衛(wèi)星的周期，再根據(jù)地球自轉(zhuǎn)周期求得衛(wèi)星每天可以繞月球轉(zhuǎn)的圈數(shù)．

解答 （1）根據(jù)萬有引力定律，在月球上的物體有：
$m{g_m}=\frac{GMm}{R^2}$…①
航天飛機(jī)維修月球衛(wèi)星時(shí)應(yīng)該與衛(wèi)星在同一軌道上，速度應(yīng)與衛(wèi)星速度相同，衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動，設(shè)速度為v，則：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{v^2}{R+h}$…②
由①②兩式解得：$v=\sqrt{\frac{{{g_m}{R^2}}}{R+h}}$
（2）設(shè)衛(wèi)星運(yùn)動周期為T，根據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星圓周運(yùn)動向心力有：
$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m（R+h）{（{\frac{2π}{T}}）^2}$
解得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{GM}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{{{g_m}{R^2}}}}$
則衛(wèi)星每天繞月球運(yùn)轉(zhuǎn)的圈數(shù)為：$n=\frac{T_0}{T}=\frac{T_0}{2π}\sqrt{\frac{{{g_m}{R^2}}}{{{{（R+h）}^3}}}}$
答：（1）維修衛(wèi)星時(shí)，航天飛機(jī)的速度應(yīng)為$\sqrt{\frac{{g}_{m}{R}^{2}}{R+h}}$；
（2）已知地球自轉(zhuǎn)周期為T₀，則該衛(wèi)星每天可繞月球轉(zhuǎn)$\frac{{T}_{0}}{2π}\sqrt{\frac{{g}_{m}{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$圈．

點(diǎn)評 星球表面重力與萬有引力相等，萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運(yùn)動的向心力這兩點(diǎn)是萬有引力應(yīng)用問題的常用思維著手點(diǎn)，學(xué)習(xí)中要注意把握．