Question

12．如圖所示，BCPC′D是螺旋軌道，半徑為R的圓O與半徑為2R的BCD圓弧相切于最低點(diǎn)C，與水平面夾角都是37°的傾斜軌道AB，ED分別與BC、C′D圓弧相切于B、D點(diǎn)（C、C′均為豎直圓的最底點(diǎn)），將一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧的一端固定在AB軌道的有孔固定板上，平行于斜面的細(xì)線穿過有孔固定板和彈簧跨過定滑輪將小球和大球連接，小球與彈簧接觸但不相連，小球質(zhì)量為m，大球質(zhì)量為$\frac{6}{5}$m，ED軌道上固定一同樣輕質(zhì)彈簧，彈簧下端與D點(diǎn)距離為L(zhǎng)₂，初始兩球靜止，小球與B點(diǎn)的距離是L₁，L₁＞L₂，現(xiàn)小球與細(xì)線突然斷開．一切摩擦不計(jì)，重力加速度為g．

（1）細(xì)線剛斷一瞬間，小球的加速度大��；
（2）小球恰好能完成豎直圓周運(yùn)動(dòng)這種情況下，小球過C點(diǎn)前后瞬間有壓力突變，求壓力改變量為多少？
（3）小球沖上左側(cè)軌道獲得與初始線斷相同的加速度時(shí)，小球的速度．

Answer 1

分析 （1）細(xì)線剛斷時(shí)，小球的加速度大小根據(jù)牛頓第二定律求解；
（2）小球在經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，在C點(diǎn)左右兩邊相當(dāng)于分別在兩個(gè)圓周上過最低點(diǎn)，根據(jù)重力和軌道的支持力的合力提供向心力，列式得到壓力改變量與速度的關(guān)系式；小球恰好能完成豎直圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，在最高點(diǎn)由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求得最高點(diǎn)小球的速度．小球從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，列出方程，聯(lián)立即可求解．
（3）當(dāng)小球能過頂，小球滑上左側(cè)斜面軌道，壓縮彈簧獲得與初始線斷時(shí)相同大小的加速度時(shí)，彈簧彈力為F_N=$\frac{6}{5}$mg-mgsin37°，彈簧壓縮量與右側(cè)初始彈簧壓縮量相同，則彈簧的彈性勢(shì)能相等，整個(gè)過程機(jī)械能守恒，列式即可求解小球的速度．

解答 解：（1）線未斷時(shí)，彈簧對(duì)小球m的彈力大小 F_N=$\frac{6}{5}$mg-mgsin37°
細(xì)線剛斷時(shí)，小球的加速度 a=$\frac{{F}_{N}+mgsin37°}{m}$=$\frac{\frac{6}{5}mg}{m}$=$\frac{6}{5}$g
（2）小球在經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，在C點(diǎn)左右兩邊相當(dāng)于分別在兩個(gè)圓周上過最低點(diǎn)，
在右邊：軌道對(duì)小球的支持力 F_N1=F_n1+mg
得：F_N1=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$+mg
在左邊：軌道對(duì)小球的支持力 F_N2=F_n2+mg
得：F_N2=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$+mg
又R₁=2R，R₂=R
則小球?qū)�軌道的壓力之差為：△F=F₂-F₁=$\frac{m{v}^{2}}{2R}$
又小球從C點(diǎn)到P點(diǎn)過程中，機(jī)械能守恒，則得：
  $\frac{1}{2}m{v}^{2}$-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在最高點(diǎn)P時(shí)，由重力提供向心力，則有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：△F=$\frac{5}{2}$mg
（3）當(dāng)小球能過頂，則小球滑上左側(cè)斜面軌道，壓縮彈簧獲得與初始線斷時(shí)相同大小的加速度時(shí)，彈簧彈力為F_N=$\frac{6}{5}$mg-mgsin37°
即彈簧壓縮量與右側(cè)初始彈簧壓縮量相同，均為x=$\frac{3mg}{5k}$，則彈簧的彈性勢(shì)能相等，整個(gè)過程機(jī)械能守恒：
  mgL₁sin37°-mg（L₂+$\frac{3mg}{5k}$）sin37°=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：v₂=$\sqrt{\frac{6}{5}（{L}_{1}-{L}_{2}-\frac{3mg}{5k}）}$
答：
（1）細(xì)線剛斷時(shí)，小球的加速度大小為$\frac{6}{5}$g；
（2）壓力改變量為$\frac{5}{2}$mg．
（3）小球沖上左側(cè)軌道獲得與初始線斷相同的加速度時(shí)，小球的速度為$\sqrt{\frac{6}{5}（{L}_{1}-{L}_{2}-\frac{3mg}{5k}）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是復(fù)雜的力學(xué)問題，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，分析向心力的來源是關(guān)鍵，對(duì)于小球運(yùn)動(dòng)過程之中，要抓住機(jī)械能守恒，要具有解決綜合問題的能力，需要加強(qiáng)這方面的練習(xí)．