Question

11．如圖所示，真空中的坐標(biāo)xoy的第一象限內(nèi)存在著勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)的方向豎直向下，大小為E，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形區(qū)域ABCD的兩邊與坐標(biāo)軸重合，P和Q分別為BC和OC的中點(diǎn)，現(xiàn)有質(zhì)量為m，帶電量為q的粒子以一定的速度沿AB方向從A點(diǎn)射入電場(chǎng)，粒子恰好垂直經(jīng)過OB連線，不計(jì)粒子的重力，則
（1）判斷粒子是帶正電荷還是負(fù)電荷？
（2）求粒子經(jīng)過x軸時(shí)的動(dòng)能；
（3）調(diào)整粒子射入時(shí)速度大小，粒子第一次經(jīng)過P點(diǎn)，第二次經(jīng)過Q點(diǎn)，求粒子經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能和經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子的偏轉(zhuǎn)方向確定粒子所受電場(chǎng)力的方向，從而確定粒子的電性．
（2）抓住粒子垂直經(jīng)過OB連線，得出豎直分速度和水平分速度的關(guān)系，從而結(jié)合推論得出豎直位移和水平位移的關(guān)系．根據(jù)速度位移公式求出到達(dá)x軸和到達(dá)OB連線時(shí)豎直分速度的關(guān)系，結(jié)合平行四邊形定則求出粒子經(jīng)過x軸時(shí)的動(dòng)能．
（3）根據(jù)速度與水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍，結(jié)合類平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，運(yùn)用平行四邊形定則求出粒子經(jīng)過P點(diǎn)和Q點(diǎn)動(dòng)能之比．

解答 解：（1）由題意可知，粒子向下偏轉(zhuǎn)，則粒子所受的電場(chǎng)力向下，知該粒子帶正電．
（2）因?yàn)榱Ｗ哟怪苯?jīng)過OB連線，知此時(shí)速度與OB垂直，設(shè)此時(shí)的豎直分速度為v_y1，
則有：v_y1=v₀，
因?yàn)樗俣扰c水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍，可知此時(shí)豎直位移是水平位移的一半，
由幾何關(guān)系知，粒子到達(dá)x軸時(shí)，豎直位移是原來(lái)的3倍，根據(jù)${v}_{y}=\sqrt{2ay}$知，
此時(shí)豎直分速度${v}_{y2}=\sqrt{3}{v}_{0}$，
根據(jù)牛頓第二定律得，粒子的加速度a=$\frac{qE}{m}$，則${v}_{y2}=\sqrt{2×\frac{qE}{m}×L}$=$\sqrt{3}{v}_{0}$，
則粒子經(jīng)過x軸時(shí)的動(dòng)能${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m（{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y2}}^{2}）$=$2m{{v}_{0}}^{2}$=$\frac{qEL}{3}$．
（3）
當(dāng)粒子第一次經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)有：$t=\frac{L}{{v}_{01}}$，$\frac{1}{2}L=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
解得${v}_{01}=\sqrt{aL}$，
因?yàn)樗俣扰c水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍，設(shè)此時(shí)速度與水平方向的夾角為α，
有：$tanα=\frac{{v}_{y1}}{{v}_{01}}=1$，則${v}_{y1}={v}_{01}=\sqrt{aL}$，
則此時(shí)的動(dòng)能${E}_{k1}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m（\sqrt{2}{v}_{01}）^{2}$=maL．
當(dāng)粒子第一次經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)，有$t′=\frac{\frac{1}{2}L}{{v}_{02}}$，L=$\frac{1}{2}at{′}^{2}$，
解得v₀₂=$\sqrt{\frac{aL}{8}}$，
設(shè)此時(shí)速度與水平方向的夾角為θ，
有：$tanθ=\frac{{v}_{y2}}{{v}_{02}}=4$，解得${v}_{y2}=4{v}_{02}=\sqrt{2aL}$，
則此時(shí)的動(dòng)能E_k2=$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m（{{v}_{02}}^{2}+{{v}_{y2}}^{2}）$=$\frac{17maL}{16}$，
則動(dòng)能之比為E_k1：E_k2=16：17．
答：（1）該粒子帶正電．
（2）粒子經(jīng)過x軸時(shí)的動(dòng)能為$\frac{qEL}{3}$．
（3）粒子經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能和經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能之比為16：17．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握處理類平拋運(yùn)動(dòng)的方法，知道粒子在垂直電場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，知道某時(shí)刻速度與水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和動(dòng)能的公式進(jìn)行求解．