Question

6．如圖所示，從 A點(diǎn)以v₀的水平速度拋出一質(zhì)量m=1kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），當(dāng)小物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)，恰好沿切線方向進(jìn)入固定的光滑圓弧軌道BC，圓弧軌道BC的圓心角α=37°經(jīng)圓孤軌道后滑上與C點(diǎn)等高、靜止在粗糙水平面的長(zhǎng)木板上，圓弧軌道C端切線水平．已知長(zhǎng)木板的質(zhì)量M=4kg，A、B兩點(diǎn)距C點(diǎn)的高度分別為H=0.6m、h=0.15m，小物塊與長(zhǎng)木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.5，長(zhǎng)木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.2，Cos37°=0.8，sin37°=0.6，g=10m/s²．求：
（1）小物塊水平拋出時(shí)，初速度v₀的大小；
（2）小物塊滑動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力大小；
（3）長(zhǎng)木板至少為多長(zhǎng)，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板？

Answer 1

分析 （1）已知平拋的拋出高度和落地速度方向，求落地的速度大小和方向，用運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解；
（2）小物塊在BC間做圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，在C點(diǎn)時(shí)軌道支持力和重力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，據(jù)此求解即可；
（3）根據(jù)物塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)，物塊的位移-長(zhǎng)木板的位移應(yīng)該小于等于長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度這一臨界條件展開討論即可．

解答 解：
（1）設(shè)小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則有：
H-h=$\frac{1}{2}$gt²
設(shè)小物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)豎直分速度為v_y：v_y=gt，
由以上兩式解得：v_y=3 m/s      
由題意，速度方向與水平面的夾角為37°，tan 37°=$\frac{v_y}{v_0}$，解得v₀=4 m/s    
則小物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度
v₁=$\sqrt{{v_0}^2+{v_y}^2}$=5 m/s
（2）設(shè)小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為v₂，從B至C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得$mgh=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$
設(shè)C點(diǎn)受到的支持力為F_N，則有
F_N-mg=$\frac{mv_2^2}{R}$（1分）
由幾何關(guān)系得Cosθ=$\frac{R-h}{R}$
由上式可得R=0.75m，v₂=2$\sqrt{7}$ m/s，F(xiàn)_N=47.3 N
根據(jù)牛頓第三定律可知，小物塊對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力大小為47.3 N     
（3）由題意可知小物塊對(duì)長(zhǎng)木板的摩擦力F_f1=μ₁mg=5 N
長(zhǎng)木板與地面間的最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力
F_f′2=μ₂（M+m）g=10 N
因F_f1＜F_f′2，所以小物塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)木板靜止不動(dòng)             
設(shè)小物塊在長(zhǎng)木板上做勻減速運(yùn)動(dòng)，至長(zhǎng)木板最右端時(shí)速度剛好為0
則長(zhǎng)木板長(zhǎng)度為l=$\frac{v_2^2}{{2{μ_1}g}}$=2.8 m
所以長(zhǎng)木板至少為2.8 m，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板．              
答：（1）小物塊水平拋出時(shí)，初速度v₀的大小5 m/s；
（2）小物塊滑動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力大小47.3 N；
（3）長(zhǎng)木板至少為2.8 m，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要理清物塊在多個(gè)不同運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，掌握物塊各個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．