Question

19．如圖所示，勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直于傾角為θ的絕緣斜面向上．斜面上固定有角度為60°的“A”形光滑金屬導軌MPN，MN連線水平．以MN中點O為原點，OP為x軸建立一錐坐標系Ox．一根質(zhì)量為m、粗細均勻的導體棒CD與一端固定在O點的彈簧連接后垂直于x軸放在導軌上．初始時刻，導體棒在導軌之間的長度為L，彈簧恰處于自然長度，導體棒具有沿導軌向上的初速度v₀．整個運動過程中導體棒始終與x軸垂直并與導軌保持良好接觸．已知彈簧的勁度系數(shù)為k，彈簧的中心軸線與x軸平行，導軌和導體棒長度的電阻均為r．
（1）求初始時刻通過導體棒的電流I的大小和方向；
（2）當導體棒第一次回到初始位置時，速度變?yōu)関，求此時導體棒的加速度大小a；
（3）若導體棒最終靜止時彈簧的彈性勢能為E_p，求導體棒從開始運動到停止的過程中，導體棒上產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）導體棒切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢，由法拉第電磁感應定律求初始時刻的電動勢，由歐姆定律求出感應電流，由右手定則判斷出電流方向；
（2）當導體棒第一次回到初始位置時，應用E=BLv求出感應電動勢，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力，然后由牛頓第二定律求出加速度；
（3）根據(jù)平衡求出彈簧的壓縮量，可利用能量守恒定律求出產(chǎn)生焦耳熱．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應定律，初始時刻，導體棒產(chǎn)生的感應電動勢為${E}_{1}^{\;}=BL{v}_{0}^{\;}$
由于導軌的角度為60°，可知回路中導軌的長度為2L，根據(jù)閉合電路歐姆定律可得：
導體棒中的感應電流$I=\frac{{E}_{1}^{\;}}{{R}_{總}^{\;}}=\frac{{E}_{1}^{\;}}{3Lr}=\frac{B{v}_{0}^{\;}}{3r}$
根據(jù)右手定則，可判斷出導體棒中感應電流的方向為由C到D
（2）當導體棒第一次回到初始位置時，導體棒產(chǎn)生的感應電動勢為${E}_{2}^{\;}=BLv$
導體棒中的感應電流${I}_{2}^{\;}=\frac{{E}_{2}^{\;}}{3Lr}=\frac{Bv}{3r}$
導體棒受到的安培力為$F=B{I}_{2}^{\;}L=\frac{{B}_{\;}^{2}Lv}{3r}$，方向沿斜面向上
根據(jù)牛頓第二定律有mgsinθ-F=ma
解得：$a=gsinθ-\frac{{B}_{\;}^{2}Lv}{3mr}$
（3）導體棒最終靜止時，設彈簧的壓縮量為d，有
mgsinθ=kd
解得$d=\frac{mgsinθ}{k}$
設整個過程回路中產(chǎn)生的焦耳熱為${Q}_{0}^{\;}$，根據(jù)能量守恒定律有
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgdsinθ={E}_{p}^{\;}+{Q}_{0}^{\;}$
解得${Q}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{（mgsinθ）_{\;}^{2}}{k}-{E}_{p}^{\;}$
則導體棒上產(chǎn)生的焦耳熱
$Q=\frac{1}{3}{Q}_{0}^{\;}=\frac{1}{3}[\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{（mgsinθ）_{\;}^{2}}{k}-{E}_{p}^{\;}]$
答：（1）求初始時刻通過導體棒的電流I的大小$\frac{B{v}_{0}^{\;}}{3r}$和方向由C到D；
（2）當導體棒第一次回到初始位置時，速度變?yōu)関，此時導體棒的加速度大小a為$gsinθ-\frac{{B}_{\;}^{2}Lv}{3mr}$；
（3）若導體棒最終靜止時彈簧的彈性勢能為E_p，求導體棒從開始運動到停止的過程中，導體棒上產(chǎn)生的焦耳熱Q為$\frac{1}{3}[\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{（mgsinθ）_{\;}^{2}}{k}-{E}_{p}^{\;}]$

點評 本題關鍵是根據(jù)法拉第電磁感應定律、歐姆定律得到感應電流不變，明確感應電流產(chǎn)生的條件：磁通量變化，相反，磁通量不變時感應電流為零，要注意明確在導體棒切割時產(chǎn)生的電流恒定．