Question

7．如圖（1）所示，兩足夠長平行光滑的金屬導軌MN、PQ相距為0.8m，導軌平面與水平面夾角為α，導軌電阻不計．有一個勻強磁場垂直軌平面斜向上，長為1m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導軌上，且始終與導軌電接觸良好，金屬棒的質量為0.1kg、與導軌接觸端間電阻為1Ω．兩金屬導軌的上端連接右端電路，電路中R₂為一電阻箱．已知燈泡的電阻R_L=4Ω，定值電阻R₁=2Ω，調節(jié)電阻箱使R₂=12Ω，重力加速度g=10m/s²．將電鍵S打開，金屬棒由靜止釋放，1s后閉合電鍵，如圖（2）所示為金屬棒的速度隨時間變化的圖象．求：

（1）斜面傾角α及磁感應強度B的大�。�
（2）若金屬棒下滑距離為60m時速度恰達到最大，求金屬棒由靜止開始下滑100m的過程中，整個電路產生的電熱；
（3）改變電阻箱R₂的值，當R₂為何值時，金屬棒勻速下滑時R₂消耗的功率最大；消耗的最大功率為多少？

Answer 1

分析 （1）電鍵S打開，ab棒做勻加速直線運動，由速度圖象求出加速度，由牛頓第二定律求解斜面的傾角α．開關閉合后，導體棒最終做勻速直線運動，由F_安=BIL，I=$\frac{{BL{v_m}}}{R_總}$得到安培力表達式，由重力的分力mgsinα=F_安，求出磁感應強度B．
（2）金屬棒由靜止開始下滑100m的過程中，重力勢能減小mgSsinα，轉化為金屬棒的動能和整個電路產生的電熱，由能量守恒求解電熱．
（3）改變電阻箱R₂的值后，由金屬棒ab勻速運動，得到干路中電流表達式，推導出R₂消耗的功率與R₂的關系式，根據數(shù)學知識求解R₂消耗的最大功率．

解答 解：（1）電鍵S打開，從圖上得：$a=gsinα=\frac{△v}{△t}=5m/{s^2}$，
故sinα=$\frac{1}{2}$，解得α=30°，
金屬棒勻速下滑時速度最大，此時棒所受的安培力F_安=BIL，
由于I=$\frac{{BL{v_m}}}{R_總}$，故：
${R_總}={R_{ab}}+{R_1}+\frac{{{R_2}{R_L}}}{{{R_2}+{R_L}}}=（1+2+\frac{4×12}{4+12}）Ω=6Ω$，
從圖上得：v_m=18.75m/s，
當金屬棒勻速下滑時速度最大，有：mgsina=F_安，所以mgsina=$\frac{{{B^2}{L^2}{v_m}}}{R_總}$，
得：$B=\sqrt{\frac{{mgsinα•{R_總}}}{{{V_m}•{L^2}}}}=\sqrt{\frac{{0.1×10×\frac{1}{2}×6}}{{18.75×0．{8^2}}}}T$=0.5T；        
（2）由動能定理：$mg•S•sinα-Q=\frac{1}{2}m{v_m}^2-0$，
解得：$Q=mg•S•sinα-\frac{1}{2}m{v_m}^2$=32.42J；     
（3）改變電阻箱R₂的值后，金屬棒勻速下滑時的速度為v_m′，故mgsinα=BI_總L，${R_并}′=\frac{{{R_2}{R_L}}}{{{R_2}+{R_L}}}=（\frac{{4{R_2}}}{{4+{R_2}}}）Ω$，
R₂消耗的功率：${P_2}=\frac{{{U^2}_并}}{R_2}=\frac{{{{（{I_總}{R_并}′）}^2}}}{R_2}=\frac{{{{（\frac{mgsinα}{BL}•{R_并}′）}^2}}}{R_2}={（\frac{mgsinα}{BL}）^2}•\frac{{{{（\frac{{4{R_2}}}{{4+{R_2}}}）}^h}}}{R_2}={（\frac{mgsinα}{BL}）^2}×\frac{{16{R_2}}}{{16+8{R_2}+{R_2}^2}}={（\frac{mgsinα}{BL}）^2}×\frac{16}{{\frac{16}{R_2}+8+{R_2}}}$，
當R₂=4Ω時，R₂消耗的功率最大：
P_2m=W=1.5625W．           
答：（1）斜面傾角α是30°，磁感應強度B的大小是0.5T；
（2）若金屬棒下滑距離為60m時速度恰達到最大，金屬棒由靜止開始下滑100m的過程中，整個電路產生的電熱是32.42J；
（3）改變電阻箱R₂的值，當R₂為4Ω時，金屬棒勻速下滑時R₂消耗的功率最大，消耗的最大功率為1.5625W．

點評 本題是電磁感應中的力學問題，由速度圖象求得加速度，推導安培力與速度的表達式是關鍵步驟，難點是運用數(shù)學知識分析R₂消耗的功率何時最大．