Question

如圖所示，某貨場(chǎng)需將質(zhì)量為m₁=100kg的貨物（可視為質(zhì)點(diǎn)）從高處運(yùn)送至地面，為避免貨物與地面發(fā)生撞擊，現(xiàn)利用固定于地面的光滑四分之一圓軌道，使貨物由軌道頂端無(wú)初速滑下，軌道半徑R=1.8m．地面上緊靠軌道依次排放兩塊完全相同的木板A、B，長(zhǎng)度均為l=2m，質(zhì)量均為m₂=100kg，木板上表面與軌道末端相切．貨物與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁，木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.2．（最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等，取g=10m/s²）
（1）求貨物到達(dá)圓軌道末端時(shí)對(duì)軌道的壓力．
（2）若貨物滑上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，而滑上木板B時(shí)，木板B開始滑動(dòng)，求μ₁應(yīng)滿足的條件．
（3）若μ₁=0.5，求貨物滑到木板A末端時(shí)的速度和在木板A上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（4）求貨物停止的位置到A板右端的距離？

Answer 1

分析：（1）物體下滑的過程中，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒可以得出到達(dá)底端時(shí)的速度，再由向心力的公式可以求得物體受到的支持力的大小，根據(jù)牛頓第三定律可以得到貨物到達(dá)圓軌道末端時(shí)對(duì)軌道的壓力大小；
（2）貨物滑上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，說明此時(shí)貨物對(duì)木板的摩擦力小于地面對(duì)木板的摩擦力的大小，而滑上木板B時(shí)，木板B開始滑動(dòng)，說明此時(shí)貨物對(duì)木板的摩擦力大于了地面對(duì)貨物的摩擦力的大小，由此可以判斷摩擦因數(shù)的范圍．
（3）當(dāng)μ₁=0.5時(shí)，由⑥式可知，貨物在木板A上滑動(dòng)時(shí)，木板不動(dòng)，貨物做的是勻減速直線運(yùn)動(dòng)，位移是木板的長(zhǎng)度L，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得．

解答：解析：（1）設(shè)貨物滑到圓軌道末端時(shí)的速度為v₀，對(duì)貨物的下滑過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
m₁gR=

1

2

m₁v₀²…①
設(shè)貨物在軌道末端所受支持力的大小為F_N，根據(jù)牛頓第二定律得
F_N-m₁g=m₁

v 2 0

R

…②
聯(lián)立①②式，代入數(shù)據(jù)得
F_N=3000 N…③
根據(jù)牛頓第三定律，貨物對(duì)軌道的壓力大小為3000 N，方向豎直向下．
（2）若滑上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，由受力分析得
μ₁m₁g≤μ₂（m₁+2m₂）g…④
若滑上木板B時(shí)，木板B開始滑動(dòng)，由受力分析得
μ₁m₁g＞μ₂（m₁+m₂）g…⑤
聯(lián)立④⑤式，代入數(shù)據(jù)得0.4＜μ₁≤0.6…⑥．
（3）當(dāng)μ₁=0.5時(shí)，由⑥式可知，貨物在木板A上滑動(dòng)時(shí)，木板不動(dòng)．
設(shè)貨物在木板A上做減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小為a₁，
由牛頓第二定律得 μ₁m₁g≤m₁a₁ …⑦
設(shè)貨物滑到木板A末端是的速度為V₁，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得V₁²-V₀²=-2a₁L…⑧
聯(lián)立①⑦⑧式代入數(shù)據(jù)得  V₁=4m/s…⑨
設(shè)在木板A上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得  V₁=V₀-a₁t…⑩
聯(lián)立①⑦⑨⑩式代入數(shù)據(jù)得  t=0.4s．
（4）當(dāng)μ₁=0.5時(shí)，由⑥式可知，貨物在木板A上滑動(dòng)時(shí)，木板不動(dòng)．
而滑上木板B時(shí)，木板B開始滑動(dòng)，
貨物在木板B上做減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小為a₂，
a₂=5m/s²．
木板B做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度a₃=

μ1mg-μ2(m1+m2)g

m2

=1m/s²．
4-a₂t=0+a₃t
t=

2

3

s時(shí)，貨物與B速度相等，x₁=

14

9

m
x₂=

v2

2×2

=

1

9

m
所以貨物停止的位置到A板右端的距離x=x₁+x₂=

15

9

m
答：（1）貨物到達(dá)圓軌道末端時(shí)對(duì)軌道的壓力是3000N；
（2）若貨物滑上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，而滑上木板B時(shí)，木板B開始滑動(dòng)，μ₁應(yīng)滿足的條件是0.4＜μ₁≤0.6；
（3）若μ₁=0.5，求貨物滑到木板A末端時(shí)的速度是4m/s，在木板A上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是0.4s．
（4）貨物停止的位置到A板右端的距離x=

15

9

m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了機(jī)械能守恒、圓周運(yùn)動(dòng)和牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用，特別需要注意的是貨物在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)木板的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由于是兩塊木板，所以貨物運(yùn)到到不同的地方時(shí)木板的受力不一樣．