Question

（2013?浙江模擬）如圖所示，三個同心圓是磁場的理想邊界，圓1半徑R₁=R、圓2半徑R₂=3R、圓3半徑R₃（R₃＞R₂）大小未定，圓1內部區(qū)域磁感應強度為B，圓1與圓2之間的環(huán)形區(qū)域是無場區(qū)，圓2與圓3之間的環(huán)形區(qū)域磁感應強度也為B．兩個區(qū)域磁場方向均垂直于紙面向里．t=0時一個質量為m，帶電量為+q（q＞0）的離子（不計重力），從圓1上的A點沿半徑方向以速度v=

3 qBR

m

飛進圓1內部磁場．問：
（1）離子經多長時間第一次飛出圓1？
（2）離子飛不出環(huán)形磁場圓3邊界，則圓3半徑R₃至少為多大？
（3）在滿足了（2）小題的條件后，離子自A點射出后會在兩個磁場不斷地飛進飛出，從t=0開始到離子第二次回到A點，離子運動的總時間為多少？
（4）在同樣滿足了（2）小題的條件后，若環(huán)形磁場方向為垂直于紙面向外，其它條件不變，從t=0開始到離子第一次回到A點，離子運動的路徑總長為多少？

Answer 1

分析：（1）根據洛倫茲力提供向心力求出粒子在磁場中運動的軌道半徑，結合幾何關系求出粒子在磁場中運動的圓心角，結合周期公式求出粒子飛出圓1經歷的時間．
（2）作出粒子在磁場中運動的軌跡，根據粒子在磁場中運動的軌道半徑，結合幾何關系求出圓3半徑R₃的最小值．
（3）作出粒子在磁場中運動的軌跡，通過粒子在圓2和圓3之間的運動圓弧對應的圓心角為240°，結合周期公式求出運動的時間，抓住離子第二次回到A點，離子在圓1內磁場中運動共6次．在無磁場區(qū)中直線運動共12次求出運動的總時間．
（4）作出粒子在磁場中運動的軌跡，從t=0開始到離子第一次回到A點，離子在圓1內磁場中運動共2次，離子在環(huán)形磁場中運動共2次，離子在無磁場區(qū)中直線運動共4次，結合幾何關系求出離子運動的路徑．

解答：解：（1）由qvB=m

v2

r1

得
r1=

3

R．
如右圖1所示，根據幾何關系得，粒子在圖1中運動圓弧對應的圓心角為60°
解得t1=

60

360

?

2πm

qB

=

πm

3qB

．
（2）依題意離子在環(huán)形磁場軌跡與圓3相切時對應的就是半徑最小值，如右圖2所示．
由于兩磁場的磁感應強度相同，有：r2=r1=

3

R．
由圖中的幾何關系得，

R22+r22

+r2=R3．
解得R3=3

3

R．
（3）根據幾何關系，離子在圓2和圓3之間的運動圓弧對應的圓心角為240°．
解得t2=

240

360

?

2πm

qB

=

4πm

3qB

．
如下左圖所示，（只畫了重復單程，這樣的單程重復總共需6次）
從t=0開始到離子第二次回到A點，離子在圓1內磁場中運動共6次．
離子在環(huán)形磁場中運動共6次，離子在無磁場區(qū)中直線運動共12次．
在無場區(qū)離子直線單程的時間t3=

2 3 m

3qB

．
總時間t=6t1+6t2+12t3=(10π+8

3

)

m

qB

．
（4）如下右圖所示．（只畫了重復單程，這樣重復單程共需2次）
從t=0開始到離子第一次回到A點，離子在圓1內磁場中運動共2次；
離子在環(huán)形磁場中運動共2次，離子在無磁場區(qū)中直線運動共4次．
路徑總長s=(

10 3 π

3

+8)R．
答：（1）離子經

πm

3qB

第一次飛出圓1．
（2）離子飛不出環(huán)形磁場圓3邊界，則圓3半徑R₃至少為R3=3

3

R．
（3）從t=0開始到離子第二次回到A點，離子運動的總時間為(10π+8

3

)

m

qB

．
（4）從t=0開始到離子第一次回到A點，離子運動的路徑總長為(

10 3 π

3

+8)R．

點評：處理帶電粒子在磁場中運動的問題，關鍵作出運動的軌跡，確定圓心和半徑，結合幾何關系進行求解．