Question

（2012?懷化三模）如圖（甲）所示，在直角坐標(biāo)系0≤x≤L區(qū)域內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，右側(cè)有一個(gè)以點(diǎn)（3L，0）為圓心、半徑為L(zhǎng)的圓形區(qū)域，圓形區(qū)域與x軸的交點(diǎn)分別為M、N．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為e的電子，從y軸上的A點(diǎn)以速度v₀沿x軸正方向射入電場(chǎng)，飛出電場(chǎng)后從M點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域，速度方向與x軸夾角為30°．此時(shí)在圓形區(qū)域加如圖（乙）所示周期性變化的磁場(chǎng)，以垂直于紙面向外為磁場(chǎng)正方向），最后電子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后從N飛出，速度方向與進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相同（與x軸夾角也為30°）．求：
（1）電子進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度大小；
（2）0≤x≤L區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大��；
（3）寫出圓形磁場(chǎng)區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小、磁場(chǎng)變化周期T各應(yīng)滿足的表達(dá)式．

Answer 1

分析：電子在電場(chǎng)中只受電場(chǎng)力，做類平拋運(yùn)動(dòng)．將速度分解，可求出電子進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度大小．根據(jù)牛頓定律求出場(chǎng)強(qiáng)E的大�。�電子在磁場(chǎng)中，洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．分析電子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度方向與進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相同條件，根據(jù)圓的對(duì)稱性，由幾何知識(shí)得到半徑，周期T各應(yīng)滿足的表達(dá)式．

解答：






解：
 （1）電子在電場(chǎng)中作類平拋運(yùn)動(dòng)，射出電場(chǎng)時(shí)，如圖1所示．
          由速度關(guān)系：

v0

v

=cos30°     解得  v=

2 3

3

v0 
 （2）由速度關(guān)系得vy=v0tan30°=

3

3

v0
      在豎直方向a=

eE

m

vy=at=

eE

m

?

L

v0

           解得  E=

3 m v 2 0

3eL

（3）在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)粒子的偏轉(zhuǎn)角為60°，根據(jù)幾何知識(shí)，在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，
        粒子在x軸方向上的位移恰好等于R．粒子到達(dá)N點(diǎn)而且速度符合要求的空間條件是：2nR=2L
        電子在磁場(chǎng)作圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑
             R=

mv

eB0

=

2 3 mv0

3eB0

   
            解得B0=

2 3 nmv0

3eL

（n=1、2、3…） 
    若粒子在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期恰好轉(zhuǎn)過(guò)

1

6

圓周，同時(shí)MN間運(yùn)動(dòng)時(shí)間是磁場(chǎng)變化周期的整數(shù)倍時(shí)，
        可使粒子到達(dá)N點(diǎn)并且 速度滿足題設(shè)要求．應(yīng)滿足的時(shí)間條件：
             2n?

1

6

T0=nT       解得T0=

2πm

eB0

 
         T的表達(dá)式得：T=

3 πL

3nv0

（n=1、2、3…）
答：（1）電子進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度大小為解得 v=

2 3

3

v0；
    （2）0≤x≤L區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大小E=

3 m v 2 0

3eL

；
    （3）圓形磁場(chǎng)區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小表達(dá)式為B0=

2 3 nmv0

3eL

（n=1、2、3…） 
       磁場(chǎng)變化周期T各應(yīng)滿足的表達(dá)式為T=

3 πL

3nv0

（n=1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng)：本題帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，分別采用不同的方法：電場(chǎng)中運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解，磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)處理的基本方法是畫軌跡．所加磁場(chǎng)周期性變化時(shí)，要研究規(guī)律，得到通項(xiàng)．