Question

14．彈跳桿運(yùn)動是一項(xiàng)廣受歡迎的運(yùn)動．某種彈跳桿的結(jié)構(gòu)如圖甲所示，一根彈簧套在T型跳桿上，彈簧的下端固定在跳桿的底部，上端固定在一個套在跳桿上的腳踏板底部．一質(zhì)量為M的小孩站在該種彈跳桿的腳踏板上，當(dāng)他和跳桿處于豎直靜止?fàn)顟B(tài)時，彈簧的壓縮量為x₀．從此刻起小孩做了一系列預(yù)備動作，使彈簧達(dá)到最大壓縮量3x₀，如圖乙（a）所示；此后他開始進(jìn)入正式的運(yùn)動階段．在正式運(yùn)動階段，小孩先保持穩(wěn)定姿態(tài)豎直上升，在彈簧恢復(fù)原長時，小孩抓住跳桿，使得他和彈跳桿瞬間達(dá)到共同速度，如圖乙（b）所示；緊接著他保持穩(wěn)定姿態(tài)豎直上升到最大高度，如圖乙（c）所示；然后自由下落．跳桿下端觸地（不反彈）的同時小孩采取動作，使彈簧最大壓縮量再次達(dá)到3x₀；此后又保持穩(wěn)定姿態(tài)豎直上升，…，重復(fù)上述過程．小孩運(yùn)動的全過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)．已知跳桿的質(zhì)量為m，重力加速度為g．空氣阻力、彈簧和腳踏板的質(zhì)量、以及彈簧和腳踏板與跳桿間的摩擦均可忽略不計(jì)．
（1）求彈跳桿中彈簧的勁度系數(shù)k，并在圖丙中畫出該彈簧彈力F的大小隨彈簧壓縮量x變化的示意圖；
（2）借助彈簧彈力的大小F隨彈簧壓縮量x變化的F-x圖象可以確定彈力做功的規(guī)律，在此基礎(chǔ)上，求在圖乙所示的過程中，小孩在上升階段的最大速率；
（3）求在圖乙所示的過程中，彈跳桿下端離地的最大高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平衡條件以及胡克定律可求得勁度系數(shù)，并畫出對應(yīng)的圖象；
（2）對全過程進(jìn)行分析，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可求得最大速度；
（3）分別對彈簧恢復(fù)原狀和小孩抓住桿的過程由機(jī)械能守恒定律和動量守恒定律列式，聯(lián)立即可求得最大高度．

解答 解：（1）小孩處于靜止?fàn)顟B(tài)時，根據(jù)平衡條件有 Mg=kx₀ 
解得：k=$\frac{Mg}{{x}_{0}}$
F-x圖如圖所示．
（2）利用F-x圖象可知，圖線與橫軸所包圍的面積大小等于彈簧彈力做功的大小．
彈簧壓縮量為x時，彈性勢能為 E_p弾=$\frac{1}{2}$kx²
圖a狀態(tài)彈簧的彈性勢能為 E_p弾1=$\frac{1}{2}$k（3x₀）²
小孩從圖a至圖b的過程，小孩先做加速運(yùn)動后做減速運(yùn)動，當(dāng)彈簧彈力與重力等大時小孩向上運(yùn)動的速度最大，設(shè)其最大速度為v_max．
此時彈簧壓縮量為x₀，彈簧的彈性勢能為 E_p弾2=$\frac{1}{2}$kx${\;}_{0}^{2}$
從圖a至小孩向上運(yùn)動速度達(dá)到最大的過程中，小孩和彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此有：
  $\frac{1}{2}$k（3x₀）²=Mg（3x₀-x₀）+$\frac{1}{2}$Mv_max²+$\frac{1}{2}$kx${\;}_{0}^{2}$
解得：v_max=2$\sqrt{g{x}_{0}}$
（3）圖a狀態(tài)至彈簧長度為原長的過程中，小孩和彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒．設(shè)小孩在彈簧長度為原長時的速度為v₀，則有：
  $\frac{1}{2}$k（3x₀）²=Mg（3x₀）+$\frac{1}{2}$Mv${\;}_{0}^{2}$ 
小孩迅速抓住跳桿的瞬間，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，小孩和彈跳桿系統(tǒng)動量守恒．
設(shè)小孩和彈跳桿共同速度為v₁，規(guī)定豎直向上方向?yàn)檎�，由動量守恒定律�?br />  Mv₀=（M+m）v₁
小孩和彈跳桿一起豎直上升至最高點(diǎn)，小孩和彈跳桿系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此有：
 $\frac{1}{2}$（M+m）v${\;}_{1}^{2}$=（M+m）gh_max
解得：h_max=$\frac{3{M}^{2}{x}_{0}}{2（M+m）^{2}}$
答：
（1）彈跳桿中彈簧的勁度系數(shù)k為$\frac{Mg}{{x}_{0}}$，F(xiàn)-x圖如圖所示；
（2）在圖乙所示的過程中，小孩在上升階段的最大速率是2$\sqrt{g{x}_{0}}$；
（3）在圖乙所示的過程中，彈跳桿下端離地的最大高度是$\frac{3{M}^{2}{x}_{0}}{2（M+m）^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，要注意正確分析全過程，明確彈簧的彈性勢能與重力勢能之間的轉(zhuǎn)化及守恒規(guī)律的應(yīng)用；即注意能量轉(zhuǎn)化的方向問題．