Question

18．如圖所示，在xOy坐標(biāo)系中，y軸的左側(cè)的空間中有范圍最夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，y軸的右側(cè)存在與水平方向呈30°的斜向左上方的勻強(qiáng)電場(chǎng)，質(zhì)量為m、電量為q的帶負(fù)電粒子α從x負(fù)半軸上的P點(diǎn)以速度v與x軸負(fù)半軸方向呈60°射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，經(jīng)過(guò)y軸上的Q點(diǎn)（圖中為畫(huà)出）后逆著電場(chǎng)線方向進(jìn)入右側(cè)的勻強(qiáng)電場(chǎng)，質(zhì)量、電量相同的帶正電粒子b從P點(diǎn)以某一速度與x軸正方向成60°射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，經(jīng)y軸后垂直于電場(chǎng)方向射入右邊的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，不計(jì)兩粒子間的庫(kù)侖力和兩粒子的重力，求：

（1）P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離；
（2）帶電粒子b的初速度；
（3）要使兩帶電粒子在Q點(diǎn)相遇，兩粒子從P點(diǎn)射出的時(shí)間之差為△t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求出a粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，再由幾何關(guān)系求P、O間的距離．
（2）畫(huà)出b粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出其軌跡半徑，即可由牛頓第二定律求其初速度．
（3）先根據(jù)軌跡的圓心角求出兩個(gè)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．b粒子進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，a做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)和勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式和位移列式求出它們?cè)陔妶?chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可求得時(shí)間差．

解答 解：（1）對(duì)于a粒子，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，得
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，則 R=$\frac{mv}{qB}$
畫(huà)出a粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖，由幾何知識(shí)可得 $\overline{PO}$=Rcos30°+Rsin30°=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$R=$\frac{（\sqrt{3}+1）mv}{2qB}$
（2）據(jù)題可知b粒子射入電場(chǎng)時(shí)速度與x軸正方向的夾角為60°，則知b粒子從O點(diǎn)射入電場(chǎng)，畫(huà)出b粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)得：
  2rcos30°=$\overline{PO}$
可得 r=$\frac{\sqrt{3}+3}{6}$R=$\frac{（\sqrt{3}+3）mv}{6qB}$
設(shè)b粒子的初速度為v′，由r=$\frac{mv′}{qB}$得 v′=$\frac{\sqrt{3}+3}{6}$v
（3）a粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t_a=$\frac{150°}{360°}$T=$\frac{5}{12}$T，T=$\frac{2πm}{qB}$
b粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t_b=$\frac{120°}{360°}$T=$\frac{1}{3}$T．
Q與O間的距離為 $\overline{QO}$=Rcos30°+Rsin30°=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$R
b粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，則：
垂直于電場(chǎng)線方向，有 $\overline{QO}$cos30°=v′t_b′
聯(lián)立得 t_b′=$\frac{3R}{2v}$=$\frac{3（\sqrt{3}+1）m}{4qB}$
故兩粒子從P點(diǎn)射出的時(shí)間之差為△t=t_b+t_b′-t_a=$\frac{3+3\sqrt{3}+π}{4}$$•\frac{m}{qB}$
答：
（1）P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為$\frac{（\sqrt{3}+1）mv}{2qB}$；
（2）帶電粒子b的初速度為$\frac{\sqrt{3}+3}{6}$v；
（3）要使兩帶電粒子在Q點(diǎn)相遇，兩粒子從P點(diǎn)射出的時(shí)間之差為△t為$\frac{3+3\sqrt{3}+π}{4}$$•\frac{m}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在場(chǎng)中兩種運(yùn)動(dòng)模型：勻速圓周運(yùn)動(dòng)、類平拋運(yùn)動(dòng)，考查綜合分析能力，以及空間想像的能力，做題時(shí)一邊分析一邊畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，畫(huà)的運(yùn)動(dòng)軌跡盡量精確最好．