Question

7．太陽與地球的距離為1.5×10¹¹m，地球的公轉周期為1年．假設太陽系等比例縮�。�即天體的直徑和間距同比例變��；且各天體的平均密度不變．當太陽與地球的距離減小為0.75×10¹¹m時，地球的公轉周期為（　�。�

• A． 2年
• B． 1年
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$年
• D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$年

Answer 1

分析 由密度不變，半徑變化可求得天體的質量變化；由萬有引力充當向心力可得出變化以后的公轉周期的變化情況．

解答 解：設天體原來的半徑為r，太陽和地球原來的距離為R，當太陽與地球的距離減小為0.75×10¹¹m=$\frac{1}{2}$×1.5×10¹¹m時，
由于天體的密度不變而半徑減半，導致天體的質量減小，所以有$M′=\frac{4}{3}π（\frac{r}{2}）^{3}=\frac{M}{8}$
地球繞太陽做圓周運動由萬有引力充當向心力．所以有$G\frac{{M}_{日}′{M}_{地}′}{（\frac{R}{2}）^{2}}={M}_{地}′\frac{4{π}^{2}\frac{R}{2}}{{T}^{2}}$，整理得${T}^{2}=\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}$，與原來相同，即公轉周期不變，仍為1年，故B正確．
故選：B．

點評 天體的運動中都是萬有引力充當向心力，因向心力的表達式有多種，故應根據題目中的實際情況確定該用的表達式．