Question

8．我國的“玉兔號”月球車于2013年12月14日晚成功降落在月球虹灣區(qū)，開始探測科考．機器人“玉兔號”在月球表面做了一個豎直上拋試驗，測得物體從月球表面以初速度v₀豎直向上拋出上升的最大高度為h，已知月球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G．則下列說法中正確的是（　�。�

• A． 月球表面重力加速度為$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{h}$
• B． 月球的第一宇宙速度為v₀$\sqrt{\frac{2h}{R}}$
• C． 月球同步衛(wèi)星離月球表面高度為$\root{3}{\frac{{{v}_{0}}^{2}R{T}^{2}}{8{π}^{2}h}}$-R
• D． 月球的平均密度為$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{8πGhR}$

Answer 1

分析 根據(jù)豎直上拋運動，求出星球表面的重力加速度，根據(jù)萬有引力提供向心力求在該星球表面附近繞該星球做勻速圓周運動衛(wèi)星的周期和該星球的第一宇宙速度，根據(jù)$ρ=\frac{M}{V}$求解星球質(zhì)量．

解答 解：A、在月球表面以初速度v₀豎直上拋出一物體，則該物體上升的最大高度為h．由${{v}_{0}}^{2}=2gh$，可得月球表面重力加速度g=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2h}$，故A錯誤；
B、在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動的速度即為第一宇宙速度，則$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=$\sqrt{gR}={v}_{0}\sqrt{\frac{R}{2h}}$，故B錯誤；
C、月球同步衛(wèi)星的周期與月球自轉(zhuǎn)周期相同，則$G\frac{Mm}{（h+R）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，而$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，解得：h=$\root{3}{\frac{{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}h}}-R$，故C錯誤；
D、月球表面重力與萬有引力相等$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$可以求出星球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，則月球密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{8πGhR}$，故D正確．
故選：D

點評 解決本題得關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力．重力加速度g是聯(lián)系星球表面的物體運動和天體運動的橋梁，注意黃金代換式$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$的應(yīng)用，難度適中．