Question

13．某高速公路的一個(gè)出口路段如圖所示，情景簡(jiǎn)化：轎車從出口A進(jìn)入匝道，先勻減速直線通過(guò)下坡路段至B點(diǎn)（通過(guò)B點(diǎn)前后速率不變），再勻速率通過(guò)水平圓弧路段至C點(diǎn)，最后從C點(diǎn)沿平直路段勻減速到D點(diǎn)停下．已知轎車在A點(diǎn)的速度v₀=72km/h，AB長(zhǎng)L₁=l50m；BC為四分之一水平圓弧段，限速（允許通過(guò)的最大速度）v=36km/h，輪胎與BC段路面間的動(dòng)摩擦因μ=0.5，最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力，CD段為平直路段長(zhǎng)L₂=50m，重力加速度g取l0m/s²．
（1）若轎車到達(dá)B點(diǎn)速度剛好為v=36km/h，求轎車在AB下坡段加速度的大�。�
（2）為保證行車安全，車輪不打滑，求水平圓弧段BC半徑R的最小值及轎車A點(diǎn)到D點(diǎn)全程的最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）轎車在AB段做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，已知初速度、位移和末速度，根據(jù)速度位移關(guān)系公式求解加速度．
（2）轎車在BC段做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由靜摩擦力充當(dāng)向心力，為保證行車安全，車輪不打滑，所需要的向心力不大于最大靜摩擦力，據(jù)此列式求解半徑R的最小值．
分三段，分別由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解時(shí)間，即可得到總時(shí)間．

解答 解：（1）轎車在AB段做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，有：
  v²-${v}_{0}^{2}$=-2aL₁；
得加速度大小為 a=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}^{2}}{2{L}_{1}}$=$\frac{2{0}^{2}-1{0}^{2}}{2×150}$=1m/s²．
（2）轎車在圓弧路段做圓周運(yùn)動(dòng)，由靜摩擦力充當(dāng)向心力，為保證安全，則有
  $m\frac{{v}^{2}}{R}$≤f
又 f=μmg
聯(lián)立解得 R≥$\frac{{v}^{2}}{μg}$=$\frac{1{0}^{2}}{0.5×10}$m=20m
故水平圓弧段BC半徑R的最小值是20m．
設(shè)AB段運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，BC段勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，CD段勻減速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃，全程所用最短時(shí)間為t．
則 
  L₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$，得 t₁=$\frac{2{L}_{1}}{{v}_{0}+v}$=$\frac{2×150}{20+10}$s=10s
  $\frac{1}{2}π$R=vt₂，得 t₂=$\frac{πR}{2v}$=$\frac{3.14×20}{2×10}$s=3.14s
   L₂=$\frac{v}{2}{t}_{3}$，得 t₃=$\frac{2{L}_{2}}{v}$=$\frac{2×50}{10}$s=10s
故t=t₁+t₂+t₃=23.14s
答：
（1）轎車在AB下坡段加速度的大小為1m/s²．
（2）為保證行車安全，車輪不打滑，水平圓弧段BC半徑R的最小值是20m，轎車A點(diǎn)到D點(diǎn)全程的最短時(shí)間是23.14s．

點(diǎn)評(píng) 本題是運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)綜合題，能結(jié)合物體的運(yùn)動(dòng)情況，靈活選擇運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式形式是關(guān)鍵，當(dāng)不涉及加速度而要求時(shí)間時(shí)，可用位移等于平均速度乘以時(shí)間來(lái)求．