Question

12．如圖所示，固定斜面AB、CD與豎直光滑圓弧BC相切于B、C點，兩斜面的傾角θ=37°，圓弧BC半徑R=2m．一質量m=1kg的小滑塊（視為質點）從斜面AB上的P點由靜止沿斜面下滑，經(jīng)圓弧BC沖上斜面CD．已知P點與斜面底端B間的距離L₁=6m，滑塊與兩斜面間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.25，g=10m/s²．求：

（1）小滑塊第1次經(jīng)過圓弧最低點E時的速率；
（2）小滑塊第1次滑上斜面CD時能夠到達的最高點Q（圖中未標出）距C點的距離； 
（3）小滑塊從靜止開始下滑到第8次到達B點的過程中在斜面AB上運動通過的總路程．

Answer 1

分析 （1）對從P運動到E點過程運用動能定理列式求解E點速度．
（2）根據(jù)動能定理列式求解即可；
（3）先找出物體在斜面上滑動位移間的規(guī)律，然后分為留在左右兩側討論．

解答 解：（1）小滑塊由P運動到E點，由動能定理有：
   mgL₁sin37°+mgR（1-cos37°）-μmgcos37°L₁=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
解得：v_E=2$\sqrt{14}$m/s
（2）設小滑塊第1次滑上斜面CD時能夠到達的最高點Q距C點的距離為x₁．
小滑塊由P運動到Q點，由動能定理得：mg（L₁-x₁）sin37°-μmg（L₁+x₁）cos37°=0
解得 x₁=$\frac{{L}_{1}}{2}$=3m
（3）設小滑塊在斜面AB上依次下滑的距離分別為L₁、L₂、L₃…，在斜面CD上依次上滑的距離分別為x₁、x₂、x₃…，
與上同理可得：L₂=$\frac{{x}_{2}}{2}$，x₂=$\frac{{L}_{2}}{2}$，L₃=$\frac{{x}_{2}}{2}$，x₃=$\frac{{L}_{3}}{2}$…．
L₁、L₂、L₃…構成公比為$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列．
設從靜止開始下滑到第8次到達B點的過程中在斜面AB上運動通過的總路程為S₈．
則  S₈=L₁+2（L₂+L₃+…+L₇）=6+2×$\frac{1.5×[1-（\frac{1}{4}）^{7}]}{1-\frac{1}{4}}$≈10m
答
（1）小滑塊第1次經(jīng)過圓弧最低點E時的速率是2$\sqrt{14}$m/s；
（2）小滑塊第1次滑上斜面CD時能夠到達的最高點Q距C點的距離是3m；
（3）小滑塊從靜止開始下滑到第8次到達B點的過程中在斜面AB上運動通過的總路程是10m．

點評 本題關鍵要多次根據(jù)動能定理列式求解，對于第三問，關鍵找出重復性規(guī)律，然后分兩種情況討論，要有一定的熟悉處理能力．